मान लीजिए कि $f(x)=\frac{4 x}{3 x+4}$ द्वारा परिभाषित एक फलन $f: \mathbf{R}-\left\{-\frac{4}{3}\right\} \rightarrow \mathbf{R}$ है। f का प्रतिलोम, अर्थात् प्रतिचित्र (Map) g : परिसर $f \rightarrow \mathbf{R}-\left\{-\frac{4}{3}\right\}$, निम्नलिखित में से किसके द्वारा प्राप्त होगा:
Exercise-1.3-14
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फलन $f: R-\left\{-\frac{4}{3}\right\} \rightarrow R $ में, $ f(x)=\frac{4 x}{3 x+4}, \forall x \in R-\left\{-\frac{4}{3}\right\}$ द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए $y \in R$ के लिए$ x \in R-\left\{-\frac{4}{3}\right\}$ इस प्रकार विद्यमान है कि
$f(x)=y$ $\Rightarrow \frac{4 x}{3 x+4}=y$
$\Rightarrow $ $3 x y+4 y=4 x$ $\Rightarrow $ $x(4-3 y)=4 y \Rightarrow x=\frac{4 y}{4-3 y}$
मान लीजिए g : f का परास $\rightarrow R-\left\{-\frac{4}{3}\right\}$ में, $g(y)=\frac{4 y}{4-3 y}$ द्वारा परिभाषित फलन है।
अब, $(g o f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{4 x}{3 x+4}\right)$
$=\frac{4\left(\frac{4 x}{3 x+4}\right)}{4-3\left(\frac{4 x}{3 x+4}\right)}=\frac{16 x}{12 x+16-12 x}=\frac{16 x}{16}=x$
तथा $(fo g)(y)=f(g(y))=f\left(\frac{4 y}{4-3 y}\right)$
$=\frac{4\left(\frac{4 y}{4-3 y}\right)}{3\left(\frac{4 y}{4-3 y}\right)+4}=\frac{16 y}{12 y+16-12 y}=\frac{16 y}{16}=y$
$\therefore$ $g o f=I_{R-\left\{-\frac{4}{3}\right\}}$ तथा $ { fog }=I_{R}$
अतः f का प्रतिलोम g है। अर्थात् $f^{-1}=g$
मान लीजिए $y \in R$ के लिए$ x \in R-\left\{-\frac{4}{3}\right\}$ इस प्रकार विद्यमान है कि
$f(x)=y$ $\Rightarrow \frac{4 x}{3 x+4}=y$
$\Rightarrow $ $3 x y+4 y=4 x$ $\Rightarrow $ $x(4-3 y)=4 y \Rightarrow x=\frac{4 y}{4-3 y}$
मान लीजिए g : f का परास $\rightarrow R-\left\{-\frac{4}{3}\right\}$ में, $g(y)=\frac{4 y}{4-3 y}$ द्वारा परिभाषित फलन है।
अब, $(g o f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{4 x}{3 x+4}\right)$
$=\frac{4\left(\frac{4 x}{3 x+4}\right)}{4-3\left(\frac{4 x}{3 x+4}\right)}=\frac{16 x}{12 x+16-12 x}=\frac{16 x}{16}=x$
तथा $(fo g)(y)=f(g(y))=f\left(\frac{4 y}{4-3 y}\right)$
$=\frac{4\left(\frac{4 y}{4-3 y}\right)}{3\left(\frac{4 y}{4-3 y}\right)+4}=\frac{16 y}{12 y+16-12 y}=\frac{16 y}{16}=y$
$\therefore$ $g o f=I_{R-\left\{-\frac{4}{3}\right\}}$ तथा $ { fog }=I_{R}$
अतः f का प्रतिलोम g है। अर्थात् $f^{-1}=g$
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तथा g : R $\rightarrow$ R, g(x) = [x], द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन है, जहाँ [x], x से कम या x के बराबर पूर्णांक है, तो क्या fog तथा gof, अंतराल [0, 1] में संपाती (coincide) हैं? - 10माना कि $A=\{1,2,3\}$, तो $(1,2)$ को शामिल करते हुए कितने तुल्यता संबंध $A$ पर परिभाषित हो सकता है ?View Solution