माना कि एक वास्तविक संख्या (real number) है। आव्यूह (matrix)A= ( … - Vidyadip

Question

माना कि $\beta$ एक वास्तविक संख्या $($real number$)$ है। आव्यूह (matrix)$A=\left(\begin{array}{ccc}\beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2\end{array}\right)$ पर विचार कीजिए। यदि $A^7-(\beta-1) A^6-\beta A^5$ एक अव्युतक्रमणीय आव्यूह $($singular matrix$)$ है, तब $9 \beta$ का मान $. . . . . $ है।

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Answer

$A=\left(\begin{array}{ccc}\beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2\end{array}\right)|A|=-1$
$\Rightarrow\left|A^7-(\beta-1) A^6-\beta A^5\right|=0$
$\Rightarrow|A|^5\left|A^2-(\beta-1) A-\beta I\right|=0$
$\Rightarrow|A|^5\left|\left(A^2-\beta A\right)+A-\beta I\right|=0$
$\Rightarrow|A|^5|A(A-\beta I)+I(A-\beta I)|=0$
$|A|^5|(A+I)(A-\beta I)|=0$
$A+I=\left(\begin{array}{ccc}\beta+1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & -1\end{array}\right) $
$\Rightarrow|A+I|=-4, $ Here $|A| \neq 0 \ |A+I| \neq 0 $
$ A-\beta I=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 2 & 1-\beta & -2 \\ 3 & 1 & -2-\beta\end{array}\right)$
$|A-\beta I|=2-3(1-\beta)=3 \beta-1=0$
$ \Rightarrow \beta=\frac{1}{3}$
$9 \beta=3$

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