_ x 0 _0^ x^2 t^2dt x x = ......... - Vidyadip

MCQ

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \int\limits_0^{{x^2}} {\frac{{\cot {t^2}dt}}{{x\sin x}} = .........} $

A
$ - \frac{1}{2}$
✓
$1$
C
$\frac{3}{2}$
D
$2$

✓

Answer

Correct option: B.

$1$

$f(x) = \int _0^{x^2} \cos t^2 dt$ અને $g(x) = x \sin x$
$f(0) = \int ^0_0 \cos (0) dt$ અને $g(0) = 0 \sin 0 = 0$
$\lim_{x\rightarrow 0}\int _0^{x^2} \frac{\cos t^2 dt }{x \sin x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
$($L' Hospital rule$)$
$= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{(\cos x^4) (2x)}{x \cos x + \sin x}$
$= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2 [-x(\sin x^4)4x^3 + \cos x^4 (1)]}{-x \sin x +\cos x +\cos x}$
$= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2 [-4x^4 \sin x^4 + \cos x^4]}{ 2 \cos x + x \cos x}$
$= \frac{2(0+1)}{ 2(1)-0}= \frac{2}{2}=1$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકલનનો ઉપયોગ→સંકલનનો ઉપયોગ — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો નિયમિત ષટકોણ $ABCDEF$ ની બાજુઓ $\mathop {AB}\limits^ \to \,\, = \,\,\bar a$ અને $\mathop {BC}\limits^ \to \,\, = \,\bar b$ હોય તો $\mathop {FA}\limits^ \to \,\, = \,\,.....$

$f\left( x \right) = 1 + nx + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}{x^2} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}{x^3} + .... + {x^n}$ તો $f''(1)=\ .........$

જો $\int \frac{\left(x^{2}+1\right) e ^{x}}{(x+1)^{2}} d x=f(x) e ^{x}+ C$, તો $x=1$ આગળ $\frac{ d ^{3} f}{ d x^{3}}=\dots\dots$ જ્યાં $C$ એ અંચળાક છે.

જો $A$ અને $B$ એ સમાન કક્ષાના સામાન્ય શ્રેણિક હોય તો $adj \,(AB)$ મેળવો.

$\int_{}^{} {{{\left( {\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}} \right)}^2}dx = } $

જો $x=f(t),y=g(t)$ તો $\frac{d^2y}{dx^2}=.....$

$y = ke^{\sin ^{-1} x} + 3$ નુ વિકલ સમીકરણ મેળવો

$a*b = {a^3} + {b^3}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયીત $N$ પર ની દ્રીકક્રિયા $*$ નો વિચાર કરો.

જો $f(x) = \cot \left( {{{\sin }^{ - 1}}\sqrt {\frac{2}{{3 + \cos \,2x}}} } \right),$ તો $f'\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)$ ની કિમંત મેળવો.

જો $[x]$ એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે , તો રેખીય સમીકરણો $[\sin \,\theta ] x + [-\cos\,\theta ] y = 0 ; [\cot \,\theta ] x + y = 0$ માટે $. . . .$