निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए $- \int_{0}^{\frac\pi 2} \sin 2x \tan^{-1 }(\sin x) dx$
Miscellaneous Exercise-31
Download our app for free and get started
माना $I = \int_{0}^{\frac\pi 2} \sin 2x \tan^{-1 }(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac\pi 2} 2 \sin x \cos x \tan^{-1}(\sin x) dx (\therefore \sin 2x = 2 \sin x \cos x)$
$\sin x = t$ रखने पर,
$\Rightarrow$ जब $x = 0 \Rightarrow t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \sin \frac{\pi}{2} = 1$
$\therefore I=\int_{0}^{1} 2 t \cos x \tan^{−1 }t \frac{d t}{\cos x}=2 \int_{0}^{1} t \cdot \tan^{−t }t dt$
$=2\left[\left\{\left(\tan ^{-1} t\right) \frac{t^{2}}{2}\right\}_{0}^{1}-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} \cdot \frac{t^{2}}{2} d t\right] \ ($खण्डशः समाकलन के प्रयोग से$)$
$=2\left(\frac{\tan ^{-1} 1}{2}-0\right)-\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1+t^{2}} d t =2\left(\frac{\pi}{8}\right)-\int_{0}^{1} \frac{\left(1+t^{2}\right)-1}{1+t^{2}} d t$
$=\frac{\pi}{4}-\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+t^{2}}\right) d t =\frac{\pi}{4}-\left[t-\tan ^{-1} t\right]_{0}^{1}$
$=\frac{\pi}{4}-\left[1-\tan ^{-1} 1-(0-0)\right] =\frac{\pi}{4}-1+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}-1$
$\sin x = t$ रखने पर,
$\Rightarrow$ जब $x = 0 \Rightarrow t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \sin \frac{\pi}{2} = 1$
$\therefore I=\int_{0}^{1} 2 t \cos x \tan^{−1 }t \frac{d t}{\cos x}=2 \int_{0}^{1} t \cdot \tan^{−t }t dt$
$=2\left[\left\{\left(\tan ^{-1} t\right) \frac{t^{2}}{2}\right\}_{0}^{1}-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} \cdot \frac{t^{2}}{2} d t\right] \ ($खण्डशः समाकलन के प्रयोग से$)$
$=2\left(\frac{\tan ^{-1} 1}{2}-0\right)-\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1+t^{2}} d t =2\left(\frac{\pi}{8}\right)-\int_{0}^{1} \frac{\left(1+t^{2}\right)-1}{1+t^{2}} d t$
$=\frac{\pi}{4}-\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{1+t^{2}}\right) d t =\frac{\pi}{4}-\left[t-\tan ^{-1} t\right]_{0}^{1}$
$=\frac{\pi}{4}-\left[1-\tan ^{-1} 1-(0-0)\right] =\frac{\pi}{4}-1+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}-1$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)}$View Solution
- 2फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{5 x+3}{\sqrt{x^{2}+4 x+10}}$View Solution
- 3फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{1}{1-\tan x}$View Solution
- 4निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए $- \int_{0}^{\frac\pi 4} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x$View Solution
- 5फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-\cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}}$View Solution
- 6फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{x+2}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$View Solution
- 7फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $x \sin^{-1} x$View Solution
- 8फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$View Solution
- 9फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{1}{x-x^{3}}$View Solution
- 10फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\sqrt{1+3 x-x^{2}}$View Solution