सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए संख्या $n^3 - n, 6$ से विभाज्य है।
Exercise-1.4-4
Download our app for free and get started
$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$
जब भी किसी संख्या को $3$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल या तो $0$ या $1$ या $2$ प्राप्त होता है।
$\therefore n = 3p$ या $3p + 1$ या $3p + 2,$ जहाँ $p$ कोई पूर्णांक है।
यदि $n = 3p,$ तो $n, 3$ से विभाज्य है।
यदि $n = 3p + 1,$ तो $n - 1 = 3p + 1 - 1 = 3p, 3 $से विभाज्य है।
यदि $n = 3p + 2,$ तो $n + 1 = 3p + 2 + 1 = 3p + 3 = 3(p + 1)$ से $3$ विभाज्य है।
अतः, हम कह सकते हैं कि $n, n - 1$ और $n + 1$ में से एक संख्या हमेशा $3$ से विभाज्य होती है।
$\Rightarrow n(n - 1) (n + 1), 3$ से विभाज्य है।
इसी प्रकार, जब भी किसी संख्या को $2$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $0$ या $1$ प्राप्त होता है।
$\therefore n = 2q$ या $2q + 1$ जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है।
यदि $n = 2q,$ तो $n, 2$ से विभाज्य है।
यदि $n = 2q + 1,$ तो $n - 1 = 2q + 1 - 1 = 2q, 2$ से विभाज्य और $n + 1 = 2q + 1 + 1 = 2q + 2 = 2(q + 1), 2$ से विभाज्य कर रहा है।
तो , हम कह सकते हैं कि $n, n - 1$ और $n + 1$ में से एक संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
$\Rightarrow n(n - 1) (n + 1), 2$ से विभाज्य है।
चूँकि, $n(n - 1) (n + 1), 2$ और $3$ से विभाज्य है।
$\therefore n(n - 1) (n + 1) = n^3 - n, 6$ से विभाज्य है। $($यदि कोई संख्या $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है, तो वह $6$ से विभाज्य है$)$
जब भी किसी संख्या को $3$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल या तो $0$ या $1$ या $2$ प्राप्त होता है।
$\therefore n = 3p$ या $3p + 1$ या $3p + 2,$ जहाँ $p$ कोई पूर्णांक है।
यदि $n = 3p,$ तो $n, 3$ से विभाज्य है।
यदि $n = 3p + 1,$ तो $n - 1 = 3p + 1 - 1 = 3p, 3 $से विभाज्य है।
यदि $n = 3p + 2,$ तो $n + 1 = 3p + 2 + 1 = 3p + 3 = 3(p + 1)$ से $3$ विभाज्य है।
अतः, हम कह सकते हैं कि $n, n - 1$ और $n + 1$ में से एक संख्या हमेशा $3$ से विभाज्य होती है।
$\Rightarrow n(n - 1) (n + 1), 3$ से विभाज्य है।
इसी प्रकार, जब भी किसी संख्या को $2$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $0$ या $1$ प्राप्त होता है।
$\therefore n = 2q$ या $2q + 1$ जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है।
यदि $n = 2q,$ तो $n, 2$ से विभाज्य है।
यदि $n = 2q + 1,$ तो $n - 1 = 2q + 1 - 1 = 2q, 2$ से विभाज्य और $n + 1 = 2q + 1 + 1 = 2q + 2 = 2(q + 1), 2$ से विभाज्य कर रहा है।
तो , हम कह सकते हैं कि $n, n - 1$ और $n + 1$ में से एक संख्या हमेशा $2$ से विभाज्य होती है।
$\Rightarrow n(n - 1) (n + 1), 2$ से विभाज्य है।
चूँकि, $n(n - 1) (n + 1), 2$ और $3$ से विभाज्य है।
$\therefore n(n - 1) (n + 1) = n^3 - n, 6$ से विभाज्य है। $($यदि कोई संख्या $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है, तो वह $6$ से विभाज्य है$)$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1View Solutionसिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।
- 2View Solutionसिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
- 3दर्शाइए कि $6q + r$ के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ $q$ एक पूर्णांक है तथा $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ हैं, $6m + r$ के रूप का होता है। जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।View Solution
- 4दर्शाइए कि किसी पूर्णांक $q$ के लिए, एक विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $6q + 1$ या $6q + 3$ के रूप का हो सकता है।View Solution
- 5View Solutionदर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत: किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]