सिद्ध कीजिए कि प्रत्यावर्ती धारा का शिखर मान (Im) उसके वर्ग माध्य मूल (rms) का $\sqrt{2}$ गुना होता है।
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प्रत्यावर्ती धारा का वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) मान, दिष्ट धारा के उस मान के तुल्य होता है, जो कि उतना ही ऊष्मीय प्रभाव प्रदर्शित करता हो, जितना कि प्रत्यावर्ती धारा। इसे हम $I _{ rms }$ या $I_{\text {eff }}$ से प्रदर्शित करते हैं।
गणितीय परिभाषा के रूप में "एक पूर्ण चक्र के लिये तात्क्षणिक प्रत्यावर्ती धारा के वर्ग के माध्यमान का वर्गमूल, प्रत्यावर्ती धारा का वर्गमाध्य मूल (r.m.s.) कहलाता है।"
तात्क्षणिक प्रत्यावर्ती धारा का समीकरण
$I = I _0 \sin \omega t$ ................(1)
प्रत्यावर्ती धारा के तात्क्षणिक मान का वर्ग करने पर
$I ^2= I _0^2 \sin ^2 \omega t$ ............(2)
I2 का माध्य एक आवर्तकाल के लिये होगा।
![]()
https://pg-data.sgp1.digitaloceanspaces.com/chapter_wise/23035/T13.png" alt="Image" width="180" height="">
$\overline{I^2}=\frac{\int_0^T I^2 d t}{\int_0^{ T } d t}=\frac{1}{T} \int_0^{ T } I_0^2 \sin ^2 \omega t d t$
$\overline{I^2}=\frac{I_0^2}{T} \int_0^T \sin ^2 \omega t d t$
$=\frac{ I _0^2}{T} \int_0^{ T }\left[\frac{1-\cos 2 \omega t }{2}\right] dt$
$\because \sin ^2 \omega t =\frac{1-\cos 2 \omega t }{2}$
$=\frac{ I _0^2}{2 T} \int_0^{ T }[1-\cos 2 \omega t ] dt$
$=\frac{ I _0^2}{2 T}\left[\int_0^{ T } dt -\int_0^{ T } \cos 2 \omega tdt \right]$
$=\frac{ I _0^2}{2 T}\left[\{ t \}_0^{ T }-\left\{\frac{\sin 2 \omega t }{2 \omega}\right\}_0^{ T }\right]$
$[\because \omega T =2 \pi]$
$=\frac{I_0^2}{2 T}\left[T-\frac{1}{2 \omega}\left\{\frac{\sin 2 \omega \times 2 \pi}{\omega}-\sin 0\right\}\right]$
$=\frac{I_0^2}{2 T}\left[T-\frac{1}{2 \omega}\{\sin (4 \pi)-\sin 0\}\right]$
$=\frac{ I _0^2}{2 T}\left[ T -\frac{1}{2 \omega}\{0-0\}\right]$
$\overline{I^2}=\frac{I_0^2}{2 T} \times T=\frac{I_0^2}{2}$
{$\because$ sin 4𝝅=sin00=0}
वर्गमूल लेने पर
$\sqrt{\overline{ I ^2}}=\frac{ I _0}{\sqrt{2}}$
$I _{ rms }=0.707 I _0$ .........(3)
$\left[\because \frac{1}{\sqrt{2}}=0.707\right]$
Irms = I0 का 70.7% ..........(4)
समीकरण (4) से स्पष्ट है कि प्रत्यावर्ती धारा का वर्गमाध्य मूल मान, धारा के शिखर मान (Io) का 70.7% होता है। इसे निम्न आलेख से व्यक्त कर सकते हैं-
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https://pg-data.sgp1.digitaloceanspaces.com/chapter_wise/23035/T14.png" alt="Image" width="150" height="">
गणितीय परिभाषा के रूप में "एक पूर्ण चक्र के लिये तात्क्षणिक प्रत्यावर्ती धारा के वर्ग के माध्यमान का वर्गमूल, प्रत्यावर्ती धारा का वर्गमाध्य मूल (r.m.s.) कहलाता है।"
तात्क्षणिक प्रत्यावर्ती धारा का समीकरण
$I = I _0 \sin \omega t$ ................(1)
प्रत्यावर्ती धारा के तात्क्षणिक मान का वर्ग करने पर
$I ^2= I _0^2 \sin ^2 \omega t$ ............(2)
I2 का माध्य एक आवर्तकाल के लिये होगा।
$\overline{I^2}=\frac{\int_0^T I^2 d t}{\int_0^{ T } d t}=\frac{1}{T} \int_0^{ T } I_0^2 \sin ^2 \omega t d t$
$\overline{I^2}=\frac{I_0^2}{T} \int_0^T \sin ^2 \omega t d t$
$=\frac{ I _0^2}{T} \int_0^{ T }\left[\frac{1-\cos 2 \omega t }{2}\right] dt$
$\because \sin ^2 \omega t =\frac{1-\cos 2 \omega t }{2}$
$=\frac{ I _0^2}{2 T} \int_0^{ T }[1-\cos 2 \omega t ] dt$
$=\frac{ I _0^2}{2 T}\left[\int_0^{ T } dt -\int_0^{ T } \cos 2 \omega tdt \right]$
$=\frac{ I _0^2}{2 T}\left[\{ t \}_0^{ T }-\left\{\frac{\sin 2 \omega t }{2 \omega}\right\}_0^{ T }\right]$
$[\because \omega T =2 \pi]$
$=\frac{I_0^2}{2 T}\left[T-\frac{1}{2 \omega}\left\{\frac{\sin 2 \omega \times 2 \pi}{\omega}-\sin 0\right\}\right]$
$=\frac{I_0^2}{2 T}\left[T-\frac{1}{2 \omega}\{\sin (4 \pi)-\sin 0\}\right]$
$=\frac{ I _0^2}{2 T}\left[ T -\frac{1}{2 \omega}\{0-0\}\right]$
$\overline{I^2}=\frac{I_0^2}{2 T} \times T=\frac{I_0^2}{2}$
{$\because$ sin 4𝝅=sin00=0}
वर्गमूल लेने पर
$\sqrt{\overline{ I ^2}}=\frac{ I _0}{\sqrt{2}}$
$I _{ rms }=0.707 I _0$ .........(3)
$\left[\because \frac{1}{\sqrt{2}}=0.707\right]$
Irms = I0 का 70.7% ..........(4)
समीकरण (4) से स्पष्ट है कि प्रत्यावर्ती धारा का वर्गमाध्य मूल मान, धारा के शिखर मान (Io) का 70.7% होता है। इसे निम्न आलेख से व्यक्त कर सकते हैं-
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