उन कारकों का उल्लेख कीजिए जिन पर किसी LCR श्रेणी परिपथ की अनुनाद की आवृत्ति निर्भर करती है। अनुप्रयुक्त ac स्रोत की आवृत्ति के साथ LCR श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा में विचरण को दर्शाने के लिए ग्राफ खींचिए।

Question

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Solution

अनुनाद (Resonance) - किसी L-C-R श्रेणी परिपथ की वह विशेष अवस्था जिसमें प्रेरणिक प्रतिघात $\left( X _{ L }\right)$ और धारितीय प्रतिघात $\left( X _{ C }\right)$ के मान आपस में बराबर हों, अनुनाद (Resonance) कहलाती है।
अनुनाद की शर्त के अनुसार XL = XC
परिपथ की प्रतिबाधा Z = $\sqrt{ R ^2+\left( X _{ L }^2- X _{ C }^2\right)^2}$
$Z=\sqrt{R^2+(0)^2}=\sqrt{R^2}$
$Z _{\min }= R$.........(1)
$\Rightarrow \quad I_0=I_{\max }=\frac{E_0}{Z_{\min .}}=\frac{E_0}{R}$..........(2)
$I_{ rms }=I_{ max }=\frac{E_{ ms }}{Z_{\text {min }}}=\frac{E_{ rms }}{R}$
अनुनाद की शर्त लगाने पर हमें प्रतिबाधा का मान न्यूनतम प्राप्त होता है। इस कारण अनुनादी परिपथ में प्रवाहित प्रत्यावर्ती धारा का मान अधिकतम होता है।
अनुनादी आवृत्ति (Resonant frequency-fr)
अनुनाद स्थिति के लिये
$\begin{aligned} X_L & =X_C \\ \omega_{ r } L& =\frac{1}{\omega_{ r } C}\end{aligned}$
यहाँ पर $\omega_{ r }$ कोणीय आवृत्ति है।
$\omega_{ r }^2=\frac{1}{ LC }$
$\therefore \quad \omega_{ r }=\frac{1}{\sqrt{ LC }}$
$\Rightarrow \quad 2 \pi f _{ r }=\frac{1}{\sqrt{ LC }}$
$\Rightarrow \quad f_r=\frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
अतः अनुनादी आवृत्ति $f_r=\frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$ ....(3)
अनुनादी परिपथ की विशेषताएँ-
(1) अनुनादी परिपथ का कुल प्रतिघात या परिणामी प्रतिघात शून्य होता है, चूँकि कुल प्रतिघात
$X=X_L-X_C=0$
(2) अनुनाद स्थिति में प्रतिबाधा (Z) का मान न्यूनतम होता है और यह प्रतिरोध के तुल्य होता है, अर्थात् $Z _{\min }= R \because X _{ L }= X _{ C }$
(3) $I_{ rms }=\frac{E_{ mss }}{Z}, I_{\max }=\frac{E}{Z_{\min }}$
चूँकि अनुनादी परिपथ में प्रतिबाधा (Z) का मान न्यूनतम होता है इस कारण से परिपथ में प्रवाहित प्रत्यावर्ती धारा का मान अधिकतम होगा।
(4) वि.वा. बल और धारा में अन्तर से हम जानते हैं-
$\tan \phi=\frac{ X _{ L }- X _{ C }}{ R }$
अनुनादी अवस्था के लिये $X _{ L }= X _{ C }$
$\begin{aligned} \tan \phi & =0 \\ \phi & =0^{\circ}\end{aligned}$
अर्थात् अनुनाद की अवस्था में वि.वा. बल तथा धारा में कलान्तर शून्य होता है अर्थात् दूसरे शब्दों में इस प्रकार कहा जा सकता है कि दोनों समान कला में होते हैं।
(5) L व C के सिरों पर विभवान्तर समान तथा विपरीत होता है।
अर्थात्
$\overrightarrow{ V _{ oL }}=-\overrightarrow{ V _{ oc }}$
इस कारण आरोपित वि.वा. बल (Eo) का मान, R के सिरों पर उत्पन्न विभवान्तर $\left(\overline{V_{O R}}\right)$ के बराबर होता है।
(A) अनुनादी वक्र (Resonance Curve)- LCR परिपथ की प्रतिबाधा
$Z =\sqrt{ R ^2+\left( X _{ L }- X _{ C }\right)^2}$
$=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}$
$=\sqrt{ R ^2+\left(2 \pi fL -\frac{1}{2 \pi fC }\right)^2}$.............(1)
अतः प्रत्यावर्ती धारा
$
I_{r m s}=\frac{E_{r m s}}{Z}=\frac{E_{r m s}}{\sqrt{R^2+\left(2 \pi fL -\frac{1}{2 \pi fC }\right)^2}}
$
उपरोक्त दोनों समीकरण प्रतिंबाधा और धारा के हैं। ये दोनों समीकरण आवृत्ति पर निर्भर करते हैं। इनके ग्राफ निम्न हैं-
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