6. Application of derivatives — ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ — Question

$f'(x) = 2cos2x - 1$

$f''(x) = -4sin 2x$

હવે $f'(x) = 0 ==> (2cos2x - 1) = 0$

$==> x = n\pi \pm \pi /6 \,\,;\,\,n = 0, 1, 2, …$ 

$==> x = \pi /6, 5 \pi /6, 7\pi /6, -\pi /6,……$

પરંતુ ${f}{\text{''}}\,{\text{(}}\pi {\text{/6)}}\,\, = \,\,{\text{ - 2}}\sqrt {\text{3}} \,\, < \,{\text{0}}\,\, \Rightarrow \,{\text{x}}\,\, = \,\,\pi {\text{/}}\,{\text{6}}\,\,$ મહતમ બિંદુ છે. 

ઉપરાંત ${f}{\text{''}}\,{\text{(5}}\pi {\text{/6)}}\,\, = \,\,{\text{2}}\,\sqrt {\text{3}} \, > \,{\text{0}}$

$ \Rightarrow \,{\text{x}}\,\, = \,\,{\text{5}}\pi {\text{/6}}$ ન્યૂનતમ બિંદુ છે. 

આથી, $\,{f}{\text{(}}\pi {\text{/6)}}\,\, = \,\,{\text{ - }}\,\,\frac{{\,{\text{3}}\sqrt {\text{3}} \, - \pi }}{6}$ એક મહતમ મૂલ્ય 

${f}{\text{(5}}\pi {\text{/6)}}\,\, = \,\, - \,\,\frac{{3\sqrt 3  + 5\pi }}{6}\,\, = \,$ એક ન્યૂનતમ મૂલ્ય 

પંરતુ આપેલા વિકલ્પોમાં તે નથી. તેથી વારાફરતી થતી બદલાતી પરિસ્થિતિથી (વડે) બીજુ એક ન્યૂનત્તમ બિંદુ $ -\pi /6 $ મળે છે.

તેથી, એક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $ = \,\,{f}\,{\text{( - }}\pi {\text{/6)}}\,\, = \,\,\frac{{\pi {\text{ - 3}}\sqrt {\text{3}} }}{{\text{6}}}$