संख्या 111......1 (91 बार) - Vidyadip

Question

संख्या $111......1$ ($91$ बार)

✓

Answer

a
$111…..1$ ($91$ बार)

= $1 + 10 + {10^2} + ..... + {10^{90}}$

= $\frac{{{{10}^{91}} - 1}}{{10 - 1}} = \frac{{{{({{10}^7})}^{13}} - 1}}{{10 - 1}}$= $\frac{{{t^{13}} - 1}}{9}$, जहाँ $t = {10^7}$

= $\left( {\frac{{t - 1}}{9}} \right)\,({t^{12}} + {t^{11}} + ..... + t + 1)$

= $\left( {\frac{{{{10}^7} - 1}}{{10 - 1}}} \right)\,(1 + t + {t^2} + .... + {t^{12}})$

$ = (1 + 10 + {10^2} + .... + {10^6})(1 + t + {t^2} + ... + {t^{12}})$

$111.....1$ ($91$ बार) अभाज्य संख्या नहीं है।

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माना कि $S$ उन सभी शून्येतर (non-zero) वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय (set) है जिनके लिए द्विघाती समीकरण $\alpha x ^2- x +\alpha=0$ के दो विभिन्न वास्तविक मूल $x _1$ और $x _2$ असमिका $\left| x _1- x _2\right|<1$ को संतुप्ट करते है। निम्नलिखित अंतरालों में से कौन सा (से) समुच्चय $S$ के उपसमुच्चय है (हैं) ?

$(A)$ $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$(B)$ $\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)$

$(C)$ $\left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$(D)$ $\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{1}{2}\right)$

यदि $ A$ वर्ग आव्यूह है, तो $A + {A^T}$ होगा

दो बिन्दुओं $(2, -19)$ व $(6, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा को समद्विभाजित करने वाली एवं बिन्दुओं $(-1, 3)$ तथा $(5, -1)$ से होकर जाने वाली रेखा पर लम्ब रेखा का समीकरण है

यदि श्रेणी $2 + 5 + 8 + 11............$ का योग $60100$ हो, तो पदों की संख्या होगी

$\int_{}^{} {\frac{{x{e^x}}}{{{{(1 + x)}^2}}}dx = } $

यदि $U _{ n }=\left(1+\frac{1}{ n ^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{ n ^{2}}\right)^{2} \ldots\left(1+\frac{ n ^{2}}{ n ^{2}}\right)^{ n }$ है, तो $\lim _{ n \rightarrow \infty}\left( U _{ n }\right)^{\frac{-4}{ n ^{2}}}$ बराबर है

माना कि $S$ उन सभी स्तम्भ आव्यूहों $($column matrices$)\ \left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ का समुच्चय $($set$)$ है जिनके लिए $b_1, b_2, b_3 \in R$ और वास्तविक चरों $($real variables$)$ वालें समीकरण निकाय $($system of equations$) \ -x+2 y+5 z=b_1 ; 2 x-4 y+3 z=b_2 ; x-2 y+2 z=b_3$ का कम से कम एक हल (solution) है। तब निम्नलिखित वास्तविक चरों वाले निकायों में से किस $($कौन से$)$ निकाय $($निकायों$)$ का भी प्रत्येक $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ के लिए कम से कम एक हल है?
$(A)\ x+2 y+3 z=b_1, 4 y+5 z=b_2$ ओर $x+2 y+6 z=b_3$
$(B)\ x+y+3 z=b_1, 5 x+2 y+6 z=b_2$ ओर $-2 x-y-3 z=b_3$
$(C)\ -x+2 y-5 z=b_1, 2 x-4 y+10 z=b_2$ ओर $x-2 y+5 z=b_3$
$(D)\ x+2 y+5 z=b_1, 2 x+3 z=b_2$ ओर $x+4 y-5 z=b_3$

कथन$-1:$ श्रेणी $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+…+(361+380+400)$ का योग $8000$ हैं

कथन$-2:$ किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $\mathop \sum \limits_{k = 1}^n \left( {{k^3} - {{\left( {k - 1} \right)}^3}} \right) = {n^3}$ है।

यदि $\sin 2\theta + \sin 2\phi = 1/2$ तथा $\cos 2\theta + \cos 2\phi = 3/2$, तब ${\cos ^2}(\theta - \phi ) = $

माना वृत्त $x ^2+ y ^2- x +2 y =\frac{11}{4}$ का केन्द्र $C$ है तथा वृत्त पर एक बिंदु $P$ है। एक रेखा, बिंदु $C$ से होकर जाती है, रेखा $CP$ से $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है तथा वृत्त को बिंदुओं $Q$ तथा $R$ पर काटती है। तब त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है :