_ m = 1 ^n ^ - 1 ( 2m m^4 + m^2 + 2 ) = .... . . .. - Vidyadip

MCQ

$\sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}} \left( {\frac{{2m}}{{{m^4} + {m^2} + 2}}} \right) =\ .... . . ..$

✓
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{n^2} + n}}{{{n^2} + n + 2}}} \right)$
B
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{n^2} - n}}{{{n^2} - n + 2}}} \right)$
C
${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{n^2} + n + 2}}{{{n^2} + n}}} \right)$
D
એકપણ નહીં.

✓

Answer

Correct option: A.

${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{n^2} + n}}{{{n^2} + n + 2}}} \right)$

We have $\sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{2m}}{{{m^4} + {m^2} + 2}}} \right)} $
$ = \sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{2m}}{{1 + ({m^2} + m + 1)({m^2} - m + 1)}}} \right)} $
$ = \sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{({m^2} + m + 1) - ({m^2} - m + 1)}}{{1 + ({m^2} + m + 1)({m^2} - m + 1)}}} \right)} $
$= \sum\limits_{m = 1}^n {[{{\tan }^{ - 1}}({m^2} + m + 1) - {{\tan }^{ - 1}}({m^2} - m + 1)]} $
$ = ({\tan ^{ - 1}}3 - {\tan ^{ - 1}}1) + ({\tan ^{ - 1}}7 - {\tan ^{ - 1}}3) + $
$({\tan ^{ - 1}}13 - {\tan ^{ - 1}}7) + ...... + [{\tan ^{ - 1}}({n^2} + n + 1)$
$ - {\tan ^{ - 1}}({n^2} - n + 1)]$
$= {\tan ^{ - 1}}({n^2} + n + 1) - {\tan ^{ - 1}}1$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{n^2} + n}}{{2 + {n^2} + n}}} \right)$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 2. inverse trigonometric function→2. inverse trigonometric function — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

${\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{3 + 5\cos x}}{{5 + 3\cos x}}} \right) = . . ..$

જો $|\overrightarrow{a}|=2,|\overrightarrow{b}|=3$ અને $|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=5$ તો $|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\ .....$

$f$ એ $x$ અને $y$ ની બધી જ વાસ્તવિક કિમત માટે $f(xy) = \frac{f(x)}{y}$ શક્ય છે. જો $ f(30) = 20,$ તો $f(40)$ ની કિમત .......... થાય.

સંબંધ $R$ એ ગણ $N$ પર $R =\{(a, b ): a= b -2, b > 6\}$ દ્વારા આપેલ છે.

આપેલ પૈકી ક્યૂ વિધેય રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે ?

કોઈ $\alpha, \beta \in R$ માટે નીચેની સમીકરણ સંહતિ ધ્યાને લો. $\alpha x+2 y+z=1$ ; $2 \alpha x+3 y+z=1$ ; $3 x+\alpha y+2 z=\beta$ ; તો નીચેના પૈકી ક્યુ સાચું નથી ?

સદિશો $ -\lambda^2\hat{i} +\hat{j}+\hat{k} , \hat{i}-\lambda^2\hat{j}+\hat{k}$ અને $ \hat{i}+\hat{j}-\lambda^2\hat{k},\lambda$ ની $..........$ કિંમતો માટે સમતલીય થશે.

ધારો કે $ f$ એવું વિધેય છે કે બધા વાસ્તવિક $x$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.જો બધા $x \in [2, 4] $ માટે $ f(2) = -4 $ અને $f(x) \geq 6$ હોય, તો.......

ગોળાકાર બલૂનનું ઘનફળ $ 40$ ઘનસેમી પ્રતિમિનિટના દરથી વધી રહ્યુ છે જ્યારે તેની ત્રિજ્યા $8 $ સેમી હોય ત્યારે તેની સપાટીના ફેરફારનો દર ........ ${\rm{sq \,cm/min}}$ શોધો.

વિધેય $f(x)=3\sin\frac{\pi x}{3}+4\cos\frac{\pi x}{4}$ માટે નો આવર્ત ..............