ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $6$ છે. જો આપણે ત્રીજી સંખ્યાને $3$ વડે ગુણીને તેમાં બીજી સંખ્યા ઉમેરીએ, તો આપણને $11$ મળે. પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યાઓનો સરવાળો કરતાં, આપણને બીજી સંખ્યાના બમણા મળે. આ માહિતીને બૈજિક સ્વરૂપમાં દર્શાવો અને શ્રેણિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી તે સંખ્યાઓ શોધો.
A$x=-1, y=-2, z=3$
B$x=1, y=2, z=-3$
C$x=1, y=2, z=3$
D$x=1, y=-2, z=3$
Difficult
Download our app for free and get started
C$x=1, y=2, z=3$
Solution Let first, second and third numbers be denoted by $x, y$ and $z,$ respectively.
Then, according to given conditions, we have $x + y + z = 6$
$y + 3z = 11$
$x + z = 2y{\text{ or }}x - 2y + z = 0$
This system can be written as $A X = B$, where
$A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z
\end{array}\right] \text { and } B=\left[\begin{array}{c} 6 \\ 11 \\ 0 \end{array}\right]$
Here $|\mathrm{A}|=1(1+6)-(0-3)+(0-1)=9 \neq 0 .$
Now we find $ \text{adj} \mathrm{A}$
$A_{11}=1(1+6)=7, \quad A_{12}=-(0-3)=3, \quad A_{13}=-1$
$A_{21}=-(1+2)=-3, \quad A_{22}=0, \quad A_{23}=-(-2-1)=3$
$\mathrm{A}_{31}=(3-1)=2, \quad \mathrm{A}_{32}=-(3-0)=-3, \quad \mathrm{A}_{33}=(1-0)=1$
Hence $\text{ adj } \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1\end{array}\right]$
Thus $\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{A}|} \text{ adj } (\mathrm{A})=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1\end{array}\right]$
since $\mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \mathrm{B}$
$X=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6 \\ 11 \\ 0\end{array}\right]$
or $\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{l}42-33+0 \\ 18+0+0 \\ -6+33+0\end{array}\right]$
$=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{l}9 \\ 18 \\ 27\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]$
Thus $ x=1, y=2, z=3$
Download our app
and get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ, સમાન સામાન્ય તફાવત $d$ વાળી ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ છે, જેના પ્રથમ પદો અનુક્રમે $A , A +1, A +2$ છે. ધારો કે $A _1, A _2, A _3$ ના $7$મા, $9$મા, $17$મા પદો અનુક્રમે $a, b, c$ છે, જ્યાં $\left|\begin{array}{ccc}a & 7 & 1 \\ 2 b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0.$ જો $a=29$ હોય તો, જેનું પ્રથમ પદ $c-a-b$ હોય અને સામાન્ય તફાવત $\frac{d}{12}$ હોય તેવી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $...........$ છે.
એક સવિશેષ શાળાના પુસ્તકભંડારમાં $10$ ડઝન રસાયણવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો, $8$ ડઝન ભૌતિકવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો અને $10$ ડઝન અર્થશાસ્ત્રનાં પુસ્તકો છે. તેમની વેચાણકિંમત અનુક્રમે $Rs$ $80$, $Rs$ $60$ અને $Rs$ $40$ છે. પુસ્તકભંડાર બધાં જ પુસ્તકોનું વેચાણ કરી દે, તો શ્રેણિક બીજગણિતની મદદથી ભંડારને કેટલી રકમ મળશે તે શોધો.