Question
यदि $M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&3\end{array}} \right]$ और ${M^2} - \lambda M - {I_2} = 0$, तब $\lambda = $
$ \Rightarrow \,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&3\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&3\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\lambda &{2\lambda }\\{2\lambda }&{3\lambda }\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = O$
$ \Rightarrow \,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}5&8\\8&{13}\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\lambda &{2\lambda }\\{2\lambda }&{3\lambda }\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right] = O$
$ \Rightarrow \,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - \lambda }&{8 - 2\lambda }\\{8 - 2\lambda }&{13 - 3\lambda }\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right]$
$5 - \lambda = 1,\,\,8 - 2\lambda = 0,\,\,13 - 3\lambda = 1$
$\lambda = 4$, जो तीनों समीकरणों को सन्तुष्ट करता है।
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($1$) त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेन्द्र (orthocentre) है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right).$
($2$) यदि दीर्घवृत्त के बिन्दुओं $M$ और $N$ पर स्परिखाएँ (tangents) $R$ पर मिलती हैं और परवलय के बिन्दु $M$ पर अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है, तब त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज (quadrilateral) $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात (ratio) है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $\sec 5: 8$ $(D)$ $2: 3$
दिये गए सवाल का जवाब दीजिये ($1$) और ($2$)