Question
यदि सदिशों $\hat{ i }+\lambda \hat{ j }+\hat{ k }, \hat{ j }+\lambda \hat{ k }$ तथा $\lambda \hat{ i }+\hat{ k }$ द्वारा बनाये गये समान्तर षट्फलक (parallelopiped) का आयतन न्यूनतम है, तो $\lambda$ बराबर है
✓
Answer
d
Volume of paralleopiped $ = \left\| {\begin{array}{*{20}{l}}
1&\lambda &1\\
0&1&\lambda \\
\lambda &0&1
\end{array}} \right\|$
Volume of paralleopiped $ = \left\| {\begin{array}{*{20}{l}}
1&\lambda &1\\
0&1&\lambda \\
\lambda &0&1
\end{array}} \right\|$
$f(\lambda)=\left|\lambda^{3}-\lambda+1\right|$
Its graphs as follows
where $\lambda=-1.32$
For minimum value of volume of paralelopiped and corresponding value of $\lambda$; the minimum value is zero, $\because$ cubic always has at least one real root.
Hence answer to the question must be root of cubic $\lambda^{3}-\lambda+1=0 .$ None of the options satisfies the cubic.
Hence Question must be Bonus.
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→