यदि $x=a \cos \theta+b \sin \theta$ और $y=a \sin \theta-b \cos \theta$ तो सिद्ध कीजिए : $y^2 y_2-x y_1+y=0$
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दिया गया है कि $x=a \cos \theta+b \sin \theta$
और $y=a \sin \theta-b \cos \theta$
$\begin{array}{r}\Rightarrow x^2+y^2=(a \cos \theta+b \sin \theta)^2+(a \sin \theta-b \cos \theta)^2 \\ =a^2 \cos ^2 \theta+2 a b \sin \theta \cos \theta+b^2 \sin ^2 \theta+a^2 \sin ^2 \\ \theta-2 a b \sin \theta \cos \theta+b^2 \cos ^2 \theta\end{array}$
$\Rightarrow x^2+y^2=a^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)+b^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)$
$\Rightarrow x^2+y^2=a^2+b^2$
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$\Rightarrow \quad 2 x+2 y y_1=0$
$\Rightarrow \quad y_1=\frac{-x}{y}$........(1)
पुन: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$y_2=-\left[\frac{y \cdot 1-x \cdot y_1}{y^2}\right]$
$=-\left(\frac{y+x \cdot \frac{x}{y}}{y^2}\right)$ [समीकरण (1) से]
$\Rightarrow \quad y_2=-\left(\frac{y^2+x^2}{y^3}\right)$..........(2)
अब $y^2 y_2-x y_1+y=-y^2\left(\frac{y^2+x^2}{y^3}\right)+x \cdot \frac{x}{y}+y$
$=-\frac{\left(y^2+x^2\right)}{y}+\frac{x^2}{y}+y$
$=-y-\frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{y}+y$
$\Rightarrow y^2 y_2-x y_1+y=0$ (इतिसिद्धम् )
और $y=a \sin \theta-b \cos \theta$
$\begin{array}{r}\Rightarrow x^2+y^2=(a \cos \theta+b \sin \theta)^2+(a \sin \theta-b \cos \theta)^2 \\ =a^2 \cos ^2 \theta+2 a b \sin \theta \cos \theta+b^2 \sin ^2 \theta+a^2 \sin ^2 \\ \theta-2 a b \sin \theta \cos \theta+b^2 \cos ^2 \theta\end{array}$
$\Rightarrow x^2+y^2=a^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)+b^2\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)$
$\Rightarrow x^2+y^2=a^2+b^2$
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$\Rightarrow \quad 2 x+2 y y_1=0$
$\Rightarrow \quad y_1=\frac{-x}{y}$........(1)
पुन: $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$y_2=-\left[\frac{y \cdot 1-x \cdot y_1}{y^2}\right]$
$=-\left(\frac{y+x \cdot \frac{x}{y}}{y^2}\right)$ [समीकरण (1) से]
$\Rightarrow \quad y_2=-\left(\frac{y^2+x^2}{y^3}\right)$..........(2)
अब $y^2 y_2-x y_1+y=-y^2\left(\frac{y^2+x^2}{y^3}\right)+x \cdot \frac{x}{y}+y$
$=-\frac{\left(y^2+x^2\right)}{y}+\frac{x^2}{y}+y$
$=-y-\frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{y}+y$
$\Rightarrow y^2 y_2-x y_1+y=0$ (इतिसिद्धम् )
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