निम्नलिखित फलन का $x=2$ तथा $x=3$ पर सांतत्य का परीक्षण कीजिये -
$ f(x)=|x-2|+|x-3| $
$ f(x)=|x-2|+|x-3| $
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दिया गया फलन $f(x)=|x-2|+|x-3|$,
जिसे निम्न प्रकार लिखा जा सकता है-
$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-(x-2)-(x-3), & 0 \leq x<2 \\ x-2-(x-3), & 2 \leq x<3 \\ x-2+x-3, & x \geq 3\end{array}\right.$
$\Rightarrow \quad f(x)=\left\{\begin{array}{cc}5-2 x, \text { यदि } & 0 \leq x<2 \\ 1, & \text { यदि } 2 \leq x<3 \\ 2 x-5, \text { यदि } & x \geq 3\end{array}\right.$
(i) $x=2$ पर फलन की संततता का परीक्षण करने पर
R.H.L. का मान $=\lim _{h \rightarrow 0} f(2+h)=\lim _{h \rightarrow 0} 1=1$
L.H.L. का मान $=\lim _{h \rightarrow 0} f(2-h)=\lim _{h \rightarrow 0}[5-2(2-h)]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}(5-4+2 h)=1$
$x=2$ के लिए फलन का चयन
$f(x)=5-2 x$
$\therefore \quad f(2)=5-2 \times 2=5-4=1$
अतः $x=2$ पर
$f(2)=\lim _{h \rightarrow 0} f(2+h)=\lim _{h \rightarrow 0} f(2-h)=1$
अत: $x=2$ पर फलन संतत है।
(ii) $x=3$ पर फलन की संततता का परीक्षण करने पर
R.H.L. का मान
$\lim _{h \rightarrow 0} f(3+h)=\lim _{h \rightarrow 0}[2(3+h)-5]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}(6+2 h-5)=1$
L.H.L. का मान
$\lim _{h \rightarrow 0} f(3-h)=\lim _{h \rightarrow 0} 1=1$
$x=3$ के लिए फलन का चयन
$f(x)=2 x-5$,
$\therefore \quad f(3)=2 \times 3-5=6-5=1$
$\therefore \quad f(3)=\lim _{h \rightarrow 0} f(3+h)=\lim _{h \rightarrow 0} f(3-h)=1$
अतः फलन $x=3$ पर संतत है।
जिसे निम्न प्रकार लिखा जा सकता है-
$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-(x-2)-(x-3), & 0 \leq x<2 \\ x-2-(x-3), & 2 \leq x<3 \\ x-2+x-3, & x \geq 3\end{array}\right.$
$\Rightarrow \quad f(x)=\left\{\begin{array}{cc}5-2 x, \text { यदि } & 0 \leq x<2 \\ 1, & \text { यदि } 2 \leq x<3 \\ 2 x-5, \text { यदि } & x \geq 3\end{array}\right.$
(i) $x=2$ पर फलन की संततता का परीक्षण करने पर
R.H.L. का मान $=\lim _{h \rightarrow 0} f(2+h)=\lim _{h \rightarrow 0} 1=1$
L.H.L. का मान $=\lim _{h \rightarrow 0} f(2-h)=\lim _{h \rightarrow 0}[5-2(2-h)]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}(5-4+2 h)=1$
$x=2$ के लिए फलन का चयन
$f(x)=5-2 x$
$\therefore \quad f(2)=5-2 \times 2=5-4=1$
अतः $x=2$ पर
$f(2)=\lim _{h \rightarrow 0} f(2+h)=\lim _{h \rightarrow 0} f(2-h)=1$
अत: $x=2$ पर फलन संतत है।
(ii) $x=3$ पर फलन की संततता का परीक्षण करने पर
R.H.L. का मान
$\lim _{h \rightarrow 0} f(3+h)=\lim _{h \rightarrow 0}[2(3+h)-5]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}(6+2 h-5)=1$
L.H.L. का मान
$\lim _{h \rightarrow 0} f(3-h)=\lim _{h \rightarrow 0} 1=1$
$x=3$ के लिए फलन का चयन
$f(x)=2 x-5$,
$\therefore \quad f(3)=2 \times 3-5=6-5=1$
$\therefore \quad f(3)=\lim _{h \rightarrow 0} f(3+h)=\lim _{h \rightarrow 0} f(3-h)=1$
अतः फलन $x=3$ पर संतत है।
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