फलन $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^2+m, \text { जब } x \neq 0 \\ -x^2-m, \text { जब } x=0\end{array}, x=0\right.$ पर संतत हो तब $m$ का मान लिखिये।
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दिया गया फलन
$f(x)=\left\{\begin{array}{r}x^2+m, \text { जब } x \neq 0 \\ -x^2-m, \text { जब } x=0\end{array}\right.$
$x=0$ पर फलन का मान
$f(x)=-x^2-m$
$\therefore \quad f(0)=-0-m=-m$............(1)
R.H.L. का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[(0+h)^2+m\right]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}\left[h^2+m\right]=m$.........(2)
L.H.L. का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[(0-h)^2+m\right]$
$\lim _{h \rightarrow 0}\left[h^2+m\right]=m$...........(3)
चूँकि $x=0$ पर फलन संतत है। इसलिए समीकरण
$f(0)=$ R.H.L. $=$ L.H.L.
$\Rightarrow \quad-m=m=m$
$\Rightarrow \quad-m=m$
$\therefore 2 m=0$ या $m=0$
$f(x)=\left\{\begin{array}{r}x^2+m, \text { जब } x \neq 0 \\ -x^2-m, \text { जब } x=0\end{array}\right.$
$x=0$ पर फलन का मान
$f(x)=-x^2-m$
$\therefore \quad f(0)=-0-m=-m$............(1)
R.H.L. का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0+h)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[(0+h)^2+m\right]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}\left[h^2+m\right]=m$.........(2)
L.H.L. का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(0-h)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[(0-h)^2+m\right]$
$\lim _{h \rightarrow 0}\left[h^2+m\right]=m$...........(3)
चूँकि $x=0$ पर फलन संतत है। इसलिए समीकरण
$f(0)=$ R.H.L. $=$ L.H.L.
$\Rightarrow \quad-m=m=m$
$\Rightarrow \quad-m=m$
$\therefore 2 m=0$ या $m=0$
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