योगफल की सीमा के रूप में $\int \limits_{0}^{2} e^{x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
example-26
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माना,
$I=\int \limits_{0}^{2} e^{x} d x$
यहाँ $a = 0$ तथा $b = 2$
$\therefore h=\frac{b-a}{n}$
$\Rightarrow nh = 2$ तथा $f(x) = e^x$
अब$, \int \limits_{0}^{2} e^{x} d x$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} h [f(0) + f(0 + h) + f(0 + 2h) +...+ f{0 + (n - 1)h}]$
$\therefore I=\lim \limits _{h \rightarrow 0} h[1 + e^{h }+ e^{2h }+...+e^{(n-1)h}]$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left[\frac{1 \cdot\left(e^{h}\right)^{n}-1}{e^{h}-1}\right]$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left(\frac{e^{n h}-1}{e^{h}-1}\right)$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left(\frac{e^{2}-1}{e^{h}-1}\right)$
$=e^{2} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}-\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}$
$\left[\because \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}=1\right]$
$= e^2 - 1$
$I=\int \limits_{0}^{2} e^{x} d x$
यहाँ $a = 0$ तथा $b = 2$
$\therefore h=\frac{b-a}{n}$
$\Rightarrow nh = 2$ तथा $f(x) = e^x$
अब$, \int \limits_{0}^{2} e^{x} d x$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} h [f(0) + f(0 + h) + f(0 + 2h) +...+ f{0 + (n - 1)h}]$
$\therefore I=\lim \limits _{h \rightarrow 0} h[1 + e^{h }+ e^{2h }+...+e^{(n-1)h}]$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left[\frac{1 \cdot\left(e^{h}\right)^{n}-1}{e^{h}-1}\right]$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left(\frac{e^{n h}-1}{e^{h}-1}\right)$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left(\frac{e^{2}-1}{e^{h}-1}\right)$
$=e^{2} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}-\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}$
$\left[\because \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}=1\right]$
$= e^2 - 1$
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