योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} (x^2 + 1)dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
example-25
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परिभाषा के अनुसार
$\int_{a}^{b} f(x) d x =(b-a) \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}[f(a) +f(a+h)+\ldots + f(a + (n − 1)h]$
जहाँ $h=\frac{b-a}{n}$
इस उदाहरण में $a = 0, b = 2, f(x) = x^{2 }+ 1, h=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}$
इसलिए $\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right) d x =2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[f(0)+f\left(\frac{2}{n}\right)+f\left(\frac{4}{n}\right)+\ldots+f\left(\frac{2(n-1)}{n}\right)\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[1+\left(\frac{2^{2}}{n^{2}}+1\right)+\left(\frac{4^{2}}{n^{2}}+1\right)+\ldots+\right. \left.+\left(\frac{(2 n-2)^{2}}{n^{2}}+1\right)\right]$
$=2 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}[(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})+\frac{1}{n^2}\left(2^2+4^2+\ldots+(2 n-2)^2\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{2^{2}}{n^{2}}\left(1^{2}+2^{2} +\ldots+(n-1)^{2}\right]\right.$
$=2 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{4}{n^{2}}\right.\left.\frac{(n-1) n(2 n-1)}{6}\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{2}{3} \frac{(n-1)(2 n-1)}{n}\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty}\left[1+\frac{2}{3}\right. \left.\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)\right]=2\left[1+\frac{4}{3}\right]=\frac{14}{3}$
$\int_{a}^{b} f(x) d x =(b-a) \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}[f(a) +f(a+h)+\ldots + f(a + (n − 1)h]$
जहाँ $h=\frac{b-a}{n}$
इस उदाहरण में $a = 0, b = 2, f(x) = x^{2 }+ 1, h=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}$
इसलिए $\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right) d x =2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[f(0)+f\left(\frac{2}{n}\right)+f\left(\frac{4}{n}\right)+\ldots+f\left(\frac{2(n-1)}{n}\right)\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[1+\left(\frac{2^{2}}{n^{2}}+1\right)+\left(\frac{4^{2}}{n^{2}}+1\right)+\ldots+\right. \left.+\left(\frac{(2 n-2)^{2}}{n^{2}}+1\right)\right]$
$=2 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}[(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})+\frac{1}{n^2}\left(2^2+4^2+\ldots+(2 n-2)^2\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{2^{2}}{n^{2}}\left(1^{2}+2^{2} +\ldots+(n-1)^{2}\right]\right.$
$=2 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{4}{n^{2}}\right.\left.\frac{(n-1) n(2 n-1)}{6}\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{2}{3} \frac{(n-1)(2 n-1)}{n}\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty}\left[1+\frac{2}{3}\right. \left.\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)\right]=2\left[1+\frac{4}{3}\right]=\frac{14}{3}$
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