Question 12 Marks
$1, -a, a^2, -a^3, ... n$ पदों तक $($यदि $a \ne -1)$ गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
AnswerGP. $1, -a, a^2, -a^3, ... n$ पदों तक
प्रथम पद $A = 1, r = \frac{-a}{1} = -a < 1$
$\therefore S_n = \frac{A\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$
$= \frac{1 \times\left\{1-(-a)^{n}\right\}}{1-(-a)}$
$= \frac{1-(-a)^{n}}{1+a}, a \neq -1$
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$\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}$, ... n पदों तक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
AnswerGP. $\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}$, ... n पदों तक
a = $\sqrt{7}$, r = $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}}=\sqrt{3}$ > 1
$\therefore S_{n} =\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$
= $\frac{\sqrt{7}\left\{(\sqrt{3})^{n}-1\right\}}{\sqrt{3}-1}$
= $\frac{\sqrt{7}\left\{(\sqrt{3})^{n}-1\right\}}{\sqrt{3}-1} \times\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\right)$
= $\frac{\sqrt{7}\left\{(\sqrt{3})^{n}-1\right\}(\sqrt{3}+1)}{3-1}$
= $\frac{\sqrt{7}\left\{(\sqrt{3})^{n}-1\right\}(\sqrt{3}+1)}{2}$
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$0.15, 0.015, 0.0015, ... 20$ पदों तक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
AnswerG.P. $0.15, 0.015, 0.0015, ... 20$ पदों तक
$a = 0.15, r = \frac{0.015}{0.15}=\frac{1}{10}$ < 1 और $n = 20$
$S_n= \frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$ से,
$\Rightarrow S_{20}=\frac{0.15\left\{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{20}\right\}}{1-\frac{1}{10}}$
$\Rightarrow S_{20}=\frac{0.15\left\{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{20}\right\}}{\frac{9}{10}}$
$S_{20}=\frac{1}{6}\left\{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{20}\right\}$
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x के किस मान के लिए संख्याएँ -$\frac{2}{7} , x, \frac{-7}{2}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं?
Answer-$\frac{2}{7}$, x, $\frac{-7}{2}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
$\Rightarrow \frac{\frac{x}{-2}}{7}=\frac{\frac{-7}{2}}{x}$
$\Rightarrow x^{2}=\frac{-2}{7} \times \frac{-7}{2}$ = 1
$\therefore x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
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अनुक्रम का कौन सा पद $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, ..., \frac{1}{19683}$ है$?$
AnswerGP. $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, ..., \frac{1}{19683}$
यहां $a = \frac{1}{3}, r = \frac{1}{9} \div \frac{1}{3}=\frac{1}{9} \times \frac{3}{1}=\frac{1}{3}$
और $T_{n}=\frac{1}{19683}$
$\Rightarrow ar^{n-1}= \frac{1}{19683}$
$\Rightarrow \frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{9}$
$\Rightarrow \left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{9}$
$\therefore n = 9$
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अनुक्रम का कौन सा पद $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, ...; 729$ है?
AnswerGP. $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, ...; 729$
यहां $a = \sqrt{3}, r = \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
$T_n = 729$
$\Rightarrow ar^{n-1} = 729$
$\Rightarrow \sqrt{3} \times(\sqrt{3})^{n-1} = 729 = 3^6$
$\Rightarrow (\sqrt{3})^{n}=(\sqrt{3})^{12}$
$\therefore n = 12$
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अनुक्रम का कौन सा पद $2, 2\sqrt{2}, 4, ...; 128$ है?
AnswerGP. $2, 2\sqrt{2}, 4, ..., 128$
$a = 2, r = \frac{2 \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
$T_n = 128$
$\Rightarrow ar^{n-1}= 128$
$\Rightarrow 2 \times(\sqrt{2})^{n-1} = 128$
$(\sqrt{2})^{n-1} = 64 = 2^6= (\sqrt{2})^{12}$
$\Rightarrow n - 1 = 12$
$\therefore n = 13$
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किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद $-3$ है तो $7$वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answerयहां $a = -3, $ माना सार्वअनुपात $= r$
$\because$ चौथा पद $= ($दूसरा पद$)^2$
$\Rightarrow ar^3= (ar)^2$
$\Rightarrow ar^3 = a^2r^2$
$\Rightarrow r = a$
$\therefore r = -3$
अतः $7$वां पद $= ar^{7-1}$
$= (-3) \times (-3)^6$
$= -3 \times 729 = -2187$
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किसी गुणोत्तर श्रेणी का $5$वाँ, $8$वाँ तथा $11$वाँ पद क्रमशः $p, q$ तथा $s$ हैं तो दिखाइए कि $q^2= ps.$
Answerमाना गुणोत्तर श्रेणीं का प्रथम पद $a$ और सार्वअनुपात r है।
तब सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ से,
$T_5= ar^4 \Rightarrow p = ar^4...(1)$
$T_8= ar^7 \Rightarrow q = ar^7...(2)$
$T_{11}= ar^{10} \Rightarrow s = ar^{10}...(3)$
LHS $= q^2= (ar^7)^2$
$= a^2r^{14}$
$= (ar^4) \times (ar^{10})$
$= ps ($समी. $(1)$ और $(3)$ से$)$
$=$ RHS
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उस गुणोत्तर श्रेणी का $12$वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका $8$वाँ पद $192$ तथा सार्व अनुपात 2 है।
Answer$r = 2$
$\because T_8 = 192$
$ar^{8-1} = 192 \{$सूत्र $T_n = ar^{n-1} $ से$\}$
$\Rightarrow a \times(2)^{7} = 192$
$a = \frac{3}{2}$
तब $T_{12}= ar^{12-1}$
$= \frac{3}{2} \times (2)^{11}= 3 \times 2^{10}$
$= 3 \times 1024$
$= 3072$
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$x^3, x^5, x^7, ... n$ पदों तक $($यदि $x \ne \pm 1)$ गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
Answer$x^3, x^5, x^7, ... n$ पदों तक
$a = x^3, r = \frac{x^{5}}{x^{3}}=x^{2}$
$S_{n} =\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=\frac{x^{3}\left\{\left(x^{2}\right)^{n}-1\right\}}{x^{2}-1}$
$= \frac{x^{3}\left(x^{2 n}-1\right)}{x^{2}-1}$
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गुणोत्तर श्रेणी $\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}$, ... का $20$वाँ तथा $n$वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answerगुणोत्तर श्रेणी $\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, ...$
यहां $a = \frac{5}{2}, r=\frac{5}{4} \div \frac{5}{2}$
$= \frac{5}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{1}{2}$
$\because T_n= ar^{n-1} $ से,
$= \frac{5}{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{5}{2^{n}}$
$n = 20$ रखने पर
$T_{20}= \frac{5}{2^{20}}$
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यदि $\frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}, a$ तथा $b$ के मध्य समांतर माध्य हो तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $\frac {a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}} = a$ और $b$ का स.मा. $= \frac { a + b } { 2 }$
$2(a^n + b^n) = (a + b) (a^{n-1} + b^{n-1})$
$\Rightarrow 2a^n + 2b^n = a^n + a^{n-1}b + ab^{n-1} + b^n$
$\Rightarrow a^n + b^n = a^{n-1}b + ab^{n-1}$
$\Rightarrow a^n - a^{n-1}b = ab^{n-1} - b^n$
$\Rightarrow a^{n-1}(a - b) = b^{n-1} (a - b)$
$\Rightarrow a^{n-1} = b^{n-1}$
$\therefore \left( \frac { a } { b } \right) ^ { n - 1 } = 1$
$\therefore n - 1 = 0 \Rightarrow n = 1$
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$5$ और $26$ के बीच ऐसी $5$ संख्याएँ डालिए ताकि प्राप्त अनुक्रम समांतर श्रेणी बन जाए।
Answer$5, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, 26$ समान्तर श्रेणी में है।
यहां $a = 5, n = 7, T_7= 26, d = ?$
$\because T_7= a + (7 - 1)d$
$26 = 5 + 6d$
$\therefore 6d = 21$
$d = \frac{7}{2}$
अतः $A _1= a + d = 5 + \frac{7}{2}=\frac{17}{2}$
$A_2= a + 2d = 5 + 7 = 12$
$A_3= a + 3d = 5 + \frac{21}{2}=\frac{31}{2}$
$A_4= a + 4d = 5 + 14 = 19$
और $A_5= a + 5d = 5 + \frac{35}{2}=\frac{45}2$
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अनुक्रम में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका $n$ वाँ पद $a_n = (-1)^{n-1}n^3; a_9$ है।
Answer$a_n = (-1)^{n-1}n^3$
$n = 9$ रखने पर,
$a_9 = (-1)^8 \times 9^3$
$= 1 \times 729 = 729$
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अनुक्रम में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका $n$ वाँ पर $a_n = \frac{n^{2}}{2^{n}}; a_7$ है।
Answer$a_n = \frac{n^{2}}{2^{n}}$
$n = 7$ रखने पर,
$a_7 = \frac{7^{2}}{2^{7}}=\frac{49}{128}$
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अनुक्रम में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका $n$ वाँ पर $a_n = 4n - 3; a_{17}, a_{24} $ है।
Answer$a_n = 4n - 3$
$n = 17$ रखने पर, $a_{17}= 4 \times 17 - 3 = 68 - 3 = 65$
$n = 24$ रखने पर, $a_{24}= 4 \times 24 - 3 = 96 - 3 = 93$
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अनुक्रम में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका $n$वाँ पद $a_n = n\frac{n^{2}+5}{4}$ है।
Answer$a_n = n\cdot(\frac{n^{2}+5}{4})$
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ रखने पर,
$a_1 = 1 \times\left(\frac{1+5}{4}\right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
$a_2= 2 \times\left(\frac{4+5}{4}\right)=2 \times \frac{9}{4}=\frac{9}{2}$
$a_3= 3 \times\left(\frac{9+5}{4}\right)=3 \times \frac{14}{4}=\frac{21}{2}$
$a_4= 4 \times\left(\frac{16+5}{4}\right) = 21$
और $a_5= 5 \times\left(\frac{25+5}{4}\right)=5 \times \frac{30}{4}=\frac{75}{2}$
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अनुक्रम में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका $n$वाँ पद $a_n = (-1)^{n-1} 5^{n+1}$ है।
Answer$a_n = (-1)^{n-1} 5^{n+1}$
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ रखने पर,
$a_1= (-1)^0 \times 5^2= 1 \times 25 = 25$
$a_2= (-1)^1 \times 5^3= -1 \times 125 = -125$
$a_3= (-1)^2 \times 5^4= 1 \times 625 = 625$
$a_4= (-1)^3 \times 5^5= -1 \times 3125 = -3125$
$a_5= (-1)^4 \times 5^6= 1 \times 15625 = 15625$
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अनुक्रम में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका $n$वाँ पद $a_n = \frac {2n - 3}6$ है।
Answer$a_n = \frac{2n - 3}{6}$
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ रखने पर,
$a_1 = \frac {2 - 3}6 = -\frac 16$
$a_2 = \frac {4 - 3}6 = \frac 16$
$a_3 = \frac {6-3}6 = \frac 36 = \frac 12$
$a_4 = \frac {8 - 3}6 = \frac 56$
और $a_5 = \frac {10 - 3}6 = -\frac 7 6$
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अनुक्रम में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका nवाँ पद $a_n = 2^n$ है।
Answer$n = 1, 2, 3, 4, 5$ रखने पर,
$a_1= 2^1= 2$
$a_2= 2^2= 4$
$a_3= 2^3= 8$
$a_4= 2^4= 16$
तथा $a_5= 2^5= 32$
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अनुक्रम में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका $n$वाँ पद $a_n = \frac n {n +1}$ है।
Answer$an = \frac{n}{n+1}$
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ रखने पर,
$a_1 = \frac 1 {2}, a_2 = \frac 23, a_3 = \frac 34, a_4 = \frac 45$ और $a_5 = \frac 56$
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दिए गए $a_1 = a_2 = 2, a_n = a_{n-1} - 1,$ जहाँ $n > 2$ के लिए अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए।
Answerदिए है: $a_1 = a_2 = 2$ और $a_n = a_{n-1} - 1,$ जहाँ $n > 2$
इस समी. में क्रमशः $n = 3, 4, 5 $ रखने पर
$a_3= a_2- 1 = 2 - 1 = 1$
$a_4 = a_3 - 1 = 1 - 1 = 0$
$a_5 = a_4 - 1 = 0 - 1 = -1$
अतः संगत श्रेणी $2, 2, 1, 0, -1, ...$
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दिए गए $a_1 = -1, a_n = \frac{a_{n-1}}{n}$, जहाँ $n \ge 2$ के लिए अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए।
Answerदिए है: $a_1 = -1, a_n = \frac{a_{n-1}}{n},$ जहाँ $n \ge 2$
समी. $(1)$ में क्रमशः $n = 2, 3, 4, 5$ रखने पर,
$a_2 = \frac{a_{1}}{2}=\frac{-1}{2}$
$a_3= \frac{a_{2}}{3}=\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)}{3}=-\frac{1}{6}$
$a_4= \frac{a_{3}}{4}=\frac{\left(-\frac{1}{6}\right)}{4}=-\frac{1}{24}$
और $a_5= \frac{a_{4}}{5}=\frac{\left(-\frac{1}{24}\right)}{5}=-\frac{1}{120}$
$\therefore$ संगत श्रेणी $-1, -\frac{1}{2},-\frac{1}{6},-\frac{1}{24},-\frac{1}{120}, ...$
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दिए गए $a_1 = 3, a_n = 3a_{n-1} + 2$ सभी $n > 1$ के लिए अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए।
Answerदिए है $a_1 = 3, a_n = 3 a_{n-1} + 2$ सभी $n > 1$ के लिए
समी. $(1)$ में क्रमशः $n = 2, 3, 4, 5$ रखने पर,
$a_2= 3a_1+ 2 = 3 \times 3 + 2 = 9 + 2 = 11$
$a_3= 3a_2+ 2 = 3 \times 11 + 2 = 33 + 2 = 35$
$a_4= 3a_3+ 2 = 3 \times 35 + 2 = 105 + 2 = 107$
तथा $a_5= 3a_4+ 2 = 3 \times 107 + 2 = 321 + 2 = 323$
$\therefore$ संगत श्रेणी $3, 11, 35, 107, 323, ...$
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अनुक्रम में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका $n$ वाँ पर $a_n =\frac{n(n-2)}{n+3}; a_{20}$ है।
Answer$a_n = \frac{n(n-2)}{n+3}$
$n = 20$ रखने पर,
$a_{20} = \frac{20 \times 18}{23}=\frac{360}{23}$
View full question & answer→Question 272 Marks
अनुक्रम में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिये, जिनका $n$वाँ पद $a_n = n(n + 2)$ है।
Answer$a_n = n(n + 2)$
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ रखने पर,
$a_1= 1 \times 3 = 3$
$a_2= 2 \times 4 = 8$
$a_3= 3 \times 5 = 15$
$a_4= 4 \times 6 = 24$
और $a_5= 5 \times 7 = 35$
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एक गुणोत्तर श्रेणी में तीसरा पद $24$ तथा $6$वाँ पद $192$ है, तो $10$वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ $a^3= ar^2 24 ...(1)$
तथा $a^6= ar^5= 192 ...(2)$
$(2)$ को $(1)$ से भाग देने पर, हम पाते हैं $r = 2$
$(1)$ में $r = 2$ रखने पर, हम पाते हैं $a = 6$
अतः $a_{10}= 6(2)^9= 3072$
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गुणोत्तर श्रेणी $2, 8, 32, ...$ का कौन-सा पद $131072$ है?
Answerमाना कि $131072$ गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद है।
यहाँ $a = 2$ तथा $r = 4$ इसलिए
$131072 = a_n= 2(4)^{n-1} या 65536 = 4^{n-1}$
जिससे हम पाते हैं $4^8 = 4^{n-1}$
इसलिए $n - 1 = 8,$ अतः, $n = 9$, अर्थात् $131072$ गुणोत्तर श्रेणी का $9$वाँ पद है।
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