आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right]$
Exercise-4.4-9
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माना $A = \left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right] \therefore |A| = \left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right|$
$= 2(- 1 - 0) - 1(4 - 0) + 3(8 - 7) = - 2 - 4 + 3 = - 3$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }= - 1 - 0 = - 1, A_{12 }= - (4 - 0) = - 4, A_{13 }= 8 - 7 = 1$
$A_{21 }= - (1 - 6) = 5, A_{22} = 2 + 21 = 23, A_{23 }= - (4 + 7) = - 11$
$A_{31 }= 0 + 3 = 3, A_{32 }= - (0 - 12) = 12, A_{33 }= - 2 - 4 = - 6$
$\therefore adj (A) = \left[\begin{array}{rrr} -1 & -4 & 1 \\ 5 & 23 & -11 \\ 3 & 12 & -6 \end{array}\right]^{T}= \left[\begin{array}{rrr} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{array}\right]$
अब, $A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{-3} \left[\begin{array}{rrr} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} \frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -1 \\ \frac{4}{3} & -\frac{23}{3} & -4 \\ -\frac{1}{3} & \frac{11}{3} & 2 \end{array}\right]$
$= 2(- 1 - 0) - 1(4 - 0) + 3(8 - 7) = - 2 - 4 + 3 = - 3$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }= - 1 - 0 = - 1, A_{12 }= - (4 - 0) = - 4, A_{13 }= 8 - 7 = 1$
$A_{21 }= - (1 - 6) = 5, A_{22} = 2 + 21 = 23, A_{23 }= - (4 + 7) = - 11$
$A_{31 }= 0 + 3 = 3, A_{32 }= - (0 - 12) = 12, A_{33 }= - 2 - 4 = - 6$
$\therefore adj (A) = \left[\begin{array}{rrr} -1 & -4 & 1 \\ 5 & 23 & -11 \\ 3 & 12 & -6 \end{array}\right]^{T}= \left[\begin{array}{rrr} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{array}\right]$
अब, $A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{-3} \left[\begin{array}{rrr} -1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} \frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -1 \\ \frac{4}{3} & -\frac{23}{3} & -4 \\ -\frac{1}{3} & \frac{11}{3} & 2 \end{array}\right]$
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