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यदि $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$, तो सत्यापित कीजिए कि $\ce{A^{3 }- 6A^{2 }+ 9A - 4I = O}$ है तथा इसकी सहायता से $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-4.4-16
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दिया है$, A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$
$\therefore  A^{2 }= A A = \left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{rr} 4+1+1 & -2-2-1 & 2+1+2 \\ -2-2-1 & 1+4+1 & -1-2-2 \\ 2+1+2 & -1-2-2 & 1+1+4 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{array}\right] $
$तथा A^{3 }= A^2 A = \left[\begin{array}{rrr} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{rrr} 12+5+5 & -6-10-5 & 6+5+10 \\ -10-6-5 & 5+12+5 & -5-6-10 \\ 10+5+6 & -5-10-6 & 5+5+12 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22 \end{array}\right]$
$ \therefore A^3 - 6A^2+ 9A - 4I $
$=  \left[\begin{array}{rrr} 22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22 \end{array}\right]- 6\left[\begin{array}{rrr} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{array}\right] + 9\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right] -  4\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] $
$= \left[\begin{array}{rrr} 22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{rrr} 36 & -30 & 30 \\ -30 & 36 & -30 \\ 30 & -30 & 36 \end{array}\right]+ \left[\begin{array}{rrr} 18 & -9 & 9 \\ -9 & 18 & -9 \\ 9 & -9 & 18 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right] $
$=  \left[\begin{array}{rr} 22-36+18-4 & -21+30-9-0 & 21-30+9-0 \\ -21+30-9-0 & 22-36+18-4 & -21+30-9-0 \\ 21-30+9-0 & -21+30-9-0 & 22-36+18-4 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]= 0$
$ \therefore A^{3 }- 6A^{2 }+ 9A - 4I = 0 $
$\Rightarrow (A A A) A^{-1 }- 6(A A) A^{-1 }+ 9 A A^{-1 }- 4I A^{-1 }= 0 (A^{-1}$ से पूर्व गुणा करने पर क्योंकि $|A| \neq 0)$
$[\because | A | = \left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right| = 2(4 - 1) + 1(- 2 + 1) + 1(1 - 2) = 6 - 1 - 1 = 4 \neq 0]$
$\Rightarrow A A (A A^{-1}) - 6A(A A^{-1}) + 9(A A^{-1}) - 4(IA^{-1}) = 0$
$\Rightarrow A AI - 6AI + 9I - 4 A^{-1 }= 0 (\because A A^{-1 }= I $तथा $IA^{-1 }= A^{-1 }$ से$)$
$\Rightarrow A^{2 }- 6A + 9I = 4A^{-1} (\because A^2I = A^2$ तथा $AI = A$ से$)$
$\Rightarrow A^{-1 }= \frac{1}{4} (A^{2 }- 6A + 9)$
$= \frac{1}{4} \left\{\left[\begin{array}{rrr} 6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{rrr} 12 & -6 & 6 \\ -6 & 12 & -6 \\ 6 & -6 & 12 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}\right]\right\}$
$= \frac{1}{4} \left[\begin{array}{rrr} 6-12+9 & -5+6+0 & 5-6+0 \\ -5+6+0 & 6-12+9 & -5+6+0 \\ 5-6+0 & -5+6+0 & 6-12+9 \end{array}\right] = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{array}\right]$
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