अन्तराल $\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में फलन $f(x)=\sin 2 x-x$ के उच्चतम तथा निम्नतम मानों में अन्तर ज्ञात करो।
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दिया गया फलन है,
$ f(x)=\sin 2 x-x $
इसलिए, $\quad f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x-1$
चरम मान प्राप्त करने के लिए,
$f^{\prime}(x)=0 $
$\Rightarrow 2 \cos 2 x-1=0$
$\Rightarrow \quad \cos 2 x=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \quad 2 x=\frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow \quad x=\frac{-\pi}{6}, \frac{\pi}{6}$
अब $\quad f\left(\frac{-\pi}{2}\right)=\sin (-\pi)-\left(\frac{-\pi}{2}\right)$
$=-\sin \pi+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$
$f\left(\frac{-\pi}{6}\right)=\sin \frac{-\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$
$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}$
और $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \pi-\frac{\pi}{2}=\frac{-\pi}{2}$
अत: इन मानों में से उच्चतम मान $=\frac{\pi}{2}$ तथा न्यूनतम मान $=\frac{-\pi}{2}$
अत: अभीष्ट अन्तर $=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{-\pi}{2}\right)=\pi$
$ f(x)=\sin 2 x-x $
इसलिए, $\quad f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x-1$
चरम मान प्राप्त करने के लिए,
$f^{\prime}(x)=0 $
$\Rightarrow 2 \cos 2 x-1=0$
$\Rightarrow \quad \cos 2 x=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \quad 2 x=\frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow \quad x=\frac{-\pi}{6}, \frac{\pi}{6}$
अब $\quad f\left(\frac{-\pi}{2}\right)=\sin (-\pi)-\left(\frac{-\pi}{2}\right)$
$=-\sin \pi+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$
$f\left(\frac{-\pi}{6}\right)=\sin \frac{-\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}$
$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}$
और $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \pi-\frac{\pi}{2}=\frac{-\pi}{2}$
अत: इन मानों में से उच्चतम मान $=\frac{\pi}{2}$ तथा न्यूनतम मान $=\frac{-\pi}{2}$
अत: अभीष्ट अन्तर $=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{-\pi}{2}\right)=\pi$
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