निम्न फलन के उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिए $f(x)=\sec x+\log \cos ^2 x, 0 < x < 2 \pi$
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दिया है $-$
$f(x)=\sec x+\log \cos ^2 x$
$=\sec x+2 \log \cos x$
$\Rightarrow f^{\prime}(x)=\sec x \tan x-2 \tan x$
$=\tan x(\sec x-2)$
चरम बिन्दु प्राप्त करने के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$\Rightarrow \tan x(\sec x-2=0$
$\tan x=0$ या $\sec x=2$
$\Rightarrow \tan x=0$ या $\sec x=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\pi, x=\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} \quad[\because 0 < x < 2 \pi]$
उपरोक्त बिन्दुओं पर फलन के उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान प्राप्त हो सकते हैं।
अब $f^{\prime}(x)=\tan x(\sec x-2)$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=\sec ^2 x(\sec x-2)+\tan ^2 x \sec x$
$=\sec ^2 x(\sec x-2)+\sec x\left(\sec ^2 x-1\right)$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=2 \sec ^3 x-2 \sec ^2 x-\sec x$
$x=\frac{\pi}{3}$ पर, $f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=2 \sec ^3 \frac{\pi}{3}-2 \sec ^2 \frac{\pi}{3}-\sec \frac{\pi}{3}$
$=2 \times 8-2 \times 4-2=6>0$
अत: $x=\frac{\pi}{3}$ पर निम्निष्ठ बिन्दु है तथा उच्चिष्ठ मान
$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sec \frac{\pi}{3}+\log \cos ^2 \frac{\pi}{3}=2+\log \frac{1}{4}$
$=2-2 \log 2$
$x=\pi$ पर, $f^{\prime \prime}(\pi)=2 \sec ^3 \pi-2 \sec ^2 \pi-\sec \pi$
$=-2-2+1=-3<0$
अतः $x=\pi$ उच्चिष्ठ बिन्दु है तथा उच्चिष्ठ मान
$f(\pi)=\sec \pi+\log \cos ^2 \pi $
$=-1+\log (1)=-1$
$x=\frac{5 \pi}{3} \text { पर, } f^{\prime \prime}\left(\frac{5 \pi}{3}\right)=2 \sec ^3\left(\frac{5 \pi}{3}\right)-2 \sec ^2\left(\frac{5 \pi}{3}\right)$
$-\sec \left(\frac{5 \pi}{3}\right)$
$=2(2)^3-2(2)^2+2=10>0$
अत: $x=\frac{5 \pi}{3}$ निम्निष्ठ बिन्दु है तथा निम्निष्ठ मान
$f\left(\frac{5 \pi}{3}\right)=\sec \frac{5 \pi}{3}+\log \cos ^2 \frac{5 \pi}{3}=2+\log \left(\frac{1}{4}\right)$
$=2-2 \log 2$
$f(x)=\sec x+\log \cos ^2 x$
$=\sec x+2 \log \cos x$
$\Rightarrow f^{\prime}(x)=\sec x \tan x-2 \tan x$
$=\tan x(\sec x-2)$
चरम बिन्दु प्राप्त करने के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$\Rightarrow \tan x(\sec x-2=0$
$\tan x=0$ या $\sec x=2$
$\Rightarrow \tan x=0$ या $\sec x=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\pi, x=\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} \quad[\because 0 < x < 2 \pi]$
उपरोक्त बिन्दुओं पर फलन के उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान प्राप्त हो सकते हैं।
अब $f^{\prime}(x)=\tan x(\sec x-2)$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=\sec ^2 x(\sec x-2)+\tan ^2 x \sec x$
$=\sec ^2 x(\sec x-2)+\sec x\left(\sec ^2 x-1\right)$
$\Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=2 \sec ^3 x-2 \sec ^2 x-\sec x$
$x=\frac{\pi}{3}$ पर, $f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=2 \sec ^3 \frac{\pi}{3}-2 \sec ^2 \frac{\pi}{3}-\sec \frac{\pi}{3}$
$=2 \times 8-2 \times 4-2=6>0$
अत: $x=\frac{\pi}{3}$ पर निम्निष्ठ बिन्दु है तथा उच्चिष्ठ मान
$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sec \frac{\pi}{3}+\log \cos ^2 \frac{\pi}{3}=2+\log \frac{1}{4}$
$=2-2 \log 2$
$x=\pi$ पर, $f^{\prime \prime}(\pi)=2 \sec ^3 \pi-2 \sec ^2 \pi-\sec \pi$
$=-2-2+1=-3<0$
अतः $x=\pi$ उच्चिष्ठ बिन्दु है तथा उच्चिष्ठ मान
$f(\pi)=\sec \pi+\log \cos ^2 \pi $
$=-1+\log (1)=-1$
$x=\frac{5 \pi}{3} \text { पर, } f^{\prime \prime}\left(\frac{5 \pi}{3}\right)=2 \sec ^3\left(\frac{5 \pi}{3}\right)-2 \sec ^2\left(\frac{5 \pi}{3}\right)$
$-\sec \left(\frac{5 \pi}{3}\right)$
$=2(2)^3-2(2)^2+2=10>0$
अत: $x=\frac{5 \pi}{3}$ निम्निष्ठ बिन्दु है तथा निम्निष्ठ मान
$f\left(\frac{5 \pi}{3}\right)=\sec \frac{5 \pi}{3}+\log \cos ^2 \frac{5 \pi}{3}=2+\log \left(\frac{1}{4}\right)$
$=2-2 \log 2$
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