निम्न आकृति में दर्शाए गए टैंक, जो बेलन तथा शंकु को जोड़कर बने हैं, एक सीधे आधार वाले टैंक से पानी की अच्छी निकासी देते हैं।
एक ऐसा टैंक, जिसका शंक्वाकार भाग पानी से भरा है, में एक नल लगाया गया तथा नल से $2 cm^3 / s$ की समान दर से पानी टपक रहा है। शंक्वाकार टैंक का अर्ध-शीर्ष कोण $45^{\circ}$ है।
उपर्युक्त सूचनाओं के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए-
(i) टैंक में पानी के आयतन की त्रिज्या $r$ के पदों में व्यक्त कीजिए।
(ii) उस समय जब $r=2 \sqrt{2} cm$ है, त्रिज्या के बदलने की दर ज्ञात कीजिए।
(iii) (क) उस समय जब $r=2 \sqrt{2} cm$ है, शंक्वाकार टैंक के गीले तल के घटने की दर ज्ञात कीजिए।
अथवा
(iii) (ख) जब तिर्यक ऊँचाई 4 cm है, उस समय ऊँचाई ' $h$ ' के बदलने की दर ज्ञात कीजिए।
एक ऐसा टैंक, जिसका शंक्वाकार भाग पानी से भरा है, में एक नल लगाया गया तथा नल से $2 cm^3 / s$ की समान दर से पानी टपक रहा है। शंक्वाकार टैंक का अर्ध-शीर्ष कोण $45^{\circ}$ है।
उपर्युक्त सूचनाओं के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए-
(i) टैंक में पानी के आयतन की त्रिज्या $r$ के पदों में व्यक्त कीजिए।
(ii) उस समय जब $r=2 \sqrt{2} cm$ है, त्रिज्या के बदलने की दर ज्ञात कीजिए।
(iii) (क) उस समय जब $r=2 \sqrt{2} cm$ है, शंक्वाकार टैंक के गीले तल के घटने की दर ज्ञात कीजिए।
अथवा
(iii) (ख) जब तिर्यक ऊँचाई 4 cm है, उस समय ऊँचाई ' $h$ ' के बदलने की दर ज्ञात कीजिए।
(CBSE 2023)
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(i) $V =\frac{1}{3} \pi r^2 h=\frac{1}{3} \pi r^3 \quad \because h=r, \theta=45^{\circ}$ दिया है
(ii) $\frac{d v}{d t}=\frac{3}{3} \pi r^2 \frac{d r}{d t}=\pi r^2 \frac{d r}{d t}$
$2=\pi r^2 \frac{d r}{d t} \quad \therefore \frac{d r}{d t}=\frac{2}{\pi r^2}$
$\left(\frac{d r}{d t}\right) r=2 \sqrt{2}=\frac{-1 \times 2}{\pi(2 \sqrt{2})^2}$
$=\frac{1}{4 \pi}$ सेमी/सेकण्ड
(iii) (क) $C=\pi r l$
$C =\pi r \sqrt{2} r \quad \because l=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2} r$
$C =\sqrt{2} \pi r^2=\sqrt{2} r$
$\frac{d c}{d t}=\sqrt{2} \pi \times 2 r \frac{d r}{d t}$
$\frac{d c}{d t}=2 \sqrt{2} \pi r \frac{d r}{d t}$
$\left(\frac{d c}{d t}\right)_{r=2 \sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \pi \times 2 \sqrt{2} \times\left(-\frac{1}{4 \pi}\right)$
$=-2$ सेमी $2 /$ सेकण्ड
अथवा
(iii) (ख) $l^2=h^2+r^2$
$=r^2+r^2 \quad \because h=r$
$=2 r^2=2 \times(2 \sqrt{2})^2$
$l^2=16 \quad \therefore l=4$
$\frac{d h}{d t}=\frac{d r}{d t}=-\frac{1}{4 \pi}$ सेमी/सेकण्ड
(ii) $\frac{d v}{d t}=\frac{3}{3} \pi r^2 \frac{d r}{d t}=\pi r^2 \frac{d r}{d t}$
$2=\pi r^2 \frac{d r}{d t} \quad \therefore \frac{d r}{d t}=\frac{2}{\pi r^2}$
$\left(\frac{d r}{d t}\right) r=2 \sqrt{2}=\frac{-1 \times 2}{\pi(2 \sqrt{2})^2}$
$=\frac{1}{4 \pi}$ सेमी/सेकण्ड
(iii) (क) $C=\pi r l$
$C =\pi r \sqrt{2} r \quad \because l=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2} r$
$C =\sqrt{2} \pi r^2=\sqrt{2} r$
$\frac{d c}{d t}=\sqrt{2} \pi \times 2 r \frac{d r}{d t}$
$\frac{d c}{d t}=2 \sqrt{2} \pi r \frac{d r}{d t}$
$\left(\frac{d c}{d t}\right)_{r=2 \sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \pi \times 2 \sqrt{2} \times\left(-\frac{1}{4 \pi}\right)$
$=-2$ सेमी $2 /$ सेकण्ड
अथवा
(iii) (ख) $l^2=h^2+r^2$
$=r^2+r^2 \quad \because h=r$
$=2 r^2=2 \times(2 \sqrt{2})^2$
$l^2=16 \quad \therefore l=4$
$\frac{d h}{d t}=\frac{d r}{d t}=-\frac{1}{4 \pi}$ सेमी/सेकण्ड
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उपरोक्त के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए-
(i) अधिकतम आय $R(x)=x p(x)$ प्राप्त करने के लिए कितनी इकाई $(x)$ बेचने होंगे? अपने उत्तर का सत्यापन कीजिए।
(ii) अधिकतम आय के लिए एक कैल्कुलेटर के मूल्य को स्टोर को कितना घटाना होगा?