બે કાલ્પનિક $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા ગ્રહ એક બીજાથી અનંત અંતરે છે.હવે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તેમના કેન્દ્રને જોડતી રેખા પર તે એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે.જ્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ હોય ત્યારે તેમની ઝડપ કેટલી હશે? $(m_1$ ની ઝડપ $v_1$ અને $m_2$ ની ઝડપ $v_2$ છે $)$

Q: બે કાલ્પનિક $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા ગ્રહ એક બીજાથી અનંત અંતરે છે.હવે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તેમના કેન્દ્રને જોડતી રેખા પર તે એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે.જ્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ હોય ત્યારે તેમની ઝડપ કેટલી હશે? $(m_1$ ની ઝડપ $v_1$ અને $m_2$ ની ઝડપ $v_2$ છે $)$

We choose reference point, infinity, where total energy of the system is zero. So initial energy of the system $=0$ Final energy $=\frac{1}{2} m_1 v_1^2+\frac{1}{2} m_2 v_2^2=\frac{G m_1 m_2}{d}$ From conservation of energy, Initial energy $=$ Final energy $\therefore 0=\frac{1}{2} m_1 v_1^2+\frac{1}{2} m_2 v_2^2=\frac{G m_1 m_2}{d}$ $\text { or } \frac{1}{2} m_1 v_1^2+\frac{1}{2} m_1 v_2^2=\frac{G m_1 m_2}{d} \ldots(i)$ By conservation of linear momentum $m_1 v_1+m_2 v_2=0$ $\text { or } \frac{v_1}{v_2}=\frac{m_2}{m_1} \Rightarrow v_2=-\frac{m_1}{m_2} v_1$ Putting value of $v_2$ in equation $(1),$ we get $m_1 v_1^2+m_2\left(-\frac{m_1 v_1}{m_2}\right)^2=\frac{2 G m_1 m_2}{d}$ $\frac{m_1 m_2 v_1^2+m_1^2 v_1^2}{m_2}=\frac{2 G m_1 m_2}{d}$ $v_1=\sqrt{\frac{2 G m_2^2}{d\left(m_1+m_2\right)}}=m_2 \sqrt{\frac{2 G}{d\left(m_1+m_2\right)}}$ Similarly $v_2=m_1 \sqrt{\frac{2 G}{d\left(m_1+m_2\right)}}$

Question

A$v_1 = v_2$
B$ {v_1}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {m_2}{\mkern 1mu} \sqrt {\frac{{2G}}{{d({m_1} + {m_2})}}}$
${v_2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {m_1}{\mkern 1mu} \sqrt {\frac{{2G}}{{d({m_1} + {m_2})}}} $
C$ {v_1}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {m_1}{\mkern 1mu} \sqrt {\frac{{2G}}{{d({m_1} + {m_2})}}}$
${v_2}{\mkern 1mu} = {\mkern 1mu} {m_2}{\mkern 1mu} \sqrt {\frac{{2G}}{{d({m_1} + {m_2})}}} $
D$ {v_1}\, = \,{m_2}\,\sqrt {\frac{{2G}}{{{m_1}}}}$
${v_2}\, = \,{m_2}\,\sqrt {\frac{{2G}}{{{m_2}}}} $

JEE MAIN 2014, Diffcult

Download our app
and get started for free

Similar Questions

Download our appand get started for free

Similar Questions

Download our app
and get started for free