फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}$
Exercise-7.3-14
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माना $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x} d x =\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x} d x (\because \sin^2 x + \cos^2 x = 1, \sin 2x = 2 \sin x \cos x)$
$=\int \frac{\cos x-\sin x}{(\sin x+\cos x)^{2}} d x $
माना $\cos x + \sin x = t $
$\Rightarrow − \sin x + \cos x = \frac{dt}{dx}\Rightarrow d x=\frac{d t}{(\cos x-\sin x)}$
$\therefore I=\int \frac{\cos x-\sin x}{t^{2}} \cdot \frac{d t}{(\cos x-\sin x)}$
$=\int \frac{1}{t^{2}} d t =\int t^{-2} d t=\frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C =\frac{-1}{\cos x+\sin x}+ C$
$=\int \frac{\cos x-\sin x}{(\sin x+\cos x)^{2}} d x $
माना $\cos x + \sin x = t $
$\Rightarrow − \sin x + \cos x = \frac{dt}{dx}\Rightarrow d x=\frac{d t}{(\cos x-\sin x)}$
$\therefore I=\int \frac{\cos x-\sin x}{t^{2}} \cdot \frac{d t}{(\cos x-\sin x)}$
$=\int \frac{1}{t^{2}} d t =\int t^{-2} d t=\frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C =\frac{-1}{\cos x+\sin x}+ C$
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