$\int e^{x }\sin x dx$ ज्ञात कीजिए।
example-21
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$e^{x }$ को प्रथम फलन एवं $\sin x$ को द्वितीय फलन के रूप में लीजिए। तब खंडशः समाकलन से हम पाते हैं कि
$I = \int e^{x }\sin x dx = e^x (−\cos x) + \int e^{x }\cos x dx$
$= -e^{x }\cos x + I_1 ($मान लीजिए$) ...(1)$
$I_1$ में $e^{x }$ एवं $\cos x$ को क्रमशः प्रथम एवं द्वितीय फलन मानते हुए हम पाते हैं कि
$I_{1 }= e^{x }\sin x − \int e^{x }\sin x dx$
$I_1$ का मान $(1)$ में रखने पर हम पाते हैं कि
$I = −e^{x }\cos x +e^{x }\sin x − I$ अथवा $2I$
$= e^{x }(\sin x - \cos x)$
अतः $I = \int e^{x }\sin x dx$
$=\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x) + C$
$I = \int e^{x }\sin x dx = e^x (−\cos x) + \int e^{x }\cos x dx$
$= -e^{x }\cos x + I_1 ($मान लीजिए$) ...(1)$
$I_1$ में $e^{x }$ एवं $\cos x$ को क्रमशः प्रथम एवं द्वितीय फलन मानते हुए हम पाते हैं कि
$I_{1 }= e^{x }\sin x − \int e^{x }\sin x dx$
$I_1$ का मान $(1)$ में रखने पर हम पाते हैं कि
$I = −e^{x }\cos x +e^{x }\sin x − I$ अथवा $2I$
$= e^{x }(\sin x - \cos x)$
अतः $I = \int e^{x }\sin x dx$
$=\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x) + C$
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