$f(x)=\left\{\begin{aligned} 5 x-4, & \text { यदि } x \leq 1 \\ 4 x^2-3 x & \text { यदि } x>1\end{aligned}\right.$ पर सांतत्य का परीक्षण कीजिये।
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$x=1$ पर फलन की बायीं सीमा (L.H.L.) का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1-h)=\lim _{h \rightarrow 0}[5(1-h)-4]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}(5-5 h-4)=\lim _{h \rightarrow 0}(1-5 h)=1$
$x=1$ पर फलन की दार्यीं सीमा (R.H.L.) का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1+h)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[4(1+h)^2-3(1+h)\right]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}\left(4+4 h^2+8 h-3-3 h\right)$
$=\lim _{h \rightarrow 0}\left(4 h^2+5 h+1\right)=1$
$x=1$ पर फलन का मान निकालने पर
फलन का चयन $f(x)=5 x-4$
$\therefore \quad f(1)=5 \times 1-4=5-4=1$
$\because \quad f(1)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1-h)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1+h)$
अत: फलन $x=1$ पर संतत है तथा $x=1$ के अतिरिक्त भी फलन बहुपदीय फलन होने के कारण सर्वत्र संतत है।
$\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1-h)=\lim _{h \rightarrow 0}[5(1-h)-4]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}(5-5 h-4)=\lim _{h \rightarrow 0}(1-5 h)=1$
$x=1$ पर फलन की दार्यीं सीमा (R.H.L.) का मान निकालने पर
$\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1+h)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[4(1+h)^2-3(1+h)\right]$
$=\lim _{h \rightarrow 0}\left(4+4 h^2+8 h-3-3 h\right)$
$=\lim _{h \rightarrow 0}\left(4 h^2+5 h+1\right)=1$
$x=1$ पर फलन का मान निकालने पर
फलन का चयन $f(x)=5 x-4$
$\therefore \quad f(1)=5 \times 1-4=5-4=1$
$\because \quad f(1)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1-h)=\lim _{h \rightarrow 0} f(1+h)$
अत: फलन $x=1$ पर संतत है तथा $x=1$ के अतिरिक्त भी फलन बहुपदीय फलन होने के कारण सर्वत्र संतत है।
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