$\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} d\ x$ का मान ज्ञात कीजिए।
example-12
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यहाँ समाकल्य $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6}$ एक उचित परिमेय फलन नहीं है इसलिए हम $x^2 + 1$ को $x^2 - 5x + 6$ से भाग करते हैं और हम पाते हैं कि
$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6}=1+\frac{5 x-5}{x^{2}-5 x+6}=1+\frac{5 x-5}{(x-2)(x-3)}$
मान लीजिए कि $\frac{5 x-5}{(x-2)(x-3)} $
$=\frac{\mathrm{A}}{x-2}+\frac{\mathrm{B}}{x-3}$
ताकि $5x - 5 = A(x - 3) + B (x - 2)$
दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों एवं अचर पदों को समान करने पर हम पाते हैं $A + B = 5$ और $3A + 2B = 5$
इन समीकरणों को हल करने पर हम
$A = -5$ और $B = 10$ प्राप्त करते हैं।
अतः $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} $
$=1-\frac{5}{x-2}+\frac{10}{x-3}$
इसलिए $\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} d\ x $
$=\int d x-5 \int \frac{1}{x-2} d x+10 \int \frac{d x}{x-3}$
$= x − 5\ log |x − 2| + 10\ log |x − 3| + C$
$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6}=1+\frac{5 x-5}{x^{2}-5 x+6}=1+\frac{5 x-5}{(x-2)(x-3)}$
मान लीजिए कि $\frac{5 x-5}{(x-2)(x-3)} $
$=\frac{\mathrm{A}}{x-2}+\frac{\mathrm{B}}{x-3}$
ताकि $5x - 5 = A(x - 3) + B (x - 2)$
दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों एवं अचर पदों को समान करने पर हम पाते हैं $A + B = 5$ और $3A + 2B = 5$
इन समीकरणों को हल करने पर हम
$A = -5$ और $B = 10$ प्राप्त करते हैं।
अतः $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} $
$=1-\frac{5}{x-2}+\frac{10}{x-3}$
इसलिए $\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} d\ x $
$=\int d x-5 \int \frac{1}{x-2} d x+10 \int \frac{d x}{x-3}$
$= x − 5\ log |x − 2| + 10\ log |x − 3| + C$
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