निश्चित समाकलन के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-
$\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} d x$
$\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} d x$
Exercise-7.11-12
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माना $I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} d x ...(i)$
तब, $I=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{1+\sin (\pi-x)} d x [ \because \int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(a - x)dx]$
$ \Rightarrow I=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{1+\sin x} d x ...(ii) [ \because \sin ( \pi - x) = \sin x]$
समी $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,
$2 l=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{(1+\sin x)} d x =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{(1+\sin x)} d x $
$ =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} d x [$अंश और हर में $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर$]$
$\Rightarrow 2 I=\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{1-\sin ^{2} x} d x =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\cos ^{2} x} d x -\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x ( \because \sin^2 x + \cos^2 x = 1)$
$ \Rightarrow 2I = \pi \int_{0}^{\pi} sec^2x dx - \pi \int_{0}^{\pi} \sec x \cdot \tan x dx$
$ \Rightarrow 2I = \pi [\tan x-\sec x]_{0}^{\pi} $
$ \Rightarrow 2I = \pi [\tan \pi - sec \pi - (\tan 0 - sec 0)]$
$ \Rightarrow 2I = \pi (0 + 1 - 0 + 1) \Rightarrow 2I = 2 \pi \Rightarrow I = \pi$
तब, $I=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{1+\sin (\pi-x)} d x [ \because \int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(a - x)dx]$
$ \Rightarrow I=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{1+\sin x} d x ...(ii) [ \because \sin ( \pi - x) = \sin x]$
समी $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,
$2 l=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{(1+\sin x)} d x =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{(1+\sin x)} d x $
$ =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} d x [$अंश और हर में $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर$]$
$\Rightarrow 2 I=\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{1-\sin ^{2} x} d x =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\cos ^{2} x} d x -\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x ( \because \sin^2 x + \cos^2 x = 1)$
$ \Rightarrow 2I = \pi \int_{0}^{\pi} sec^2x dx - \pi \int_{0}^{\pi} \sec x \cdot \tan x dx$
$ \Rightarrow 2I = \pi [\tan x-\sec x]_{0}^{\pi} $
$ \Rightarrow 2I = \pi [\tan \pi - sec \pi - (\tan 0 - sec 0)]$
$ \Rightarrow 2I = \pi (0 + 1 - 0 + 1) \Rightarrow 2I = 2 \pi \Rightarrow I = \pi$
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