_0^ 2 x ( 1 + x + x ) , ,dx = ......... - Vidyadip

MCQ

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{\left( {1 + \cos x + \sin x} \right)}}\,\,dx = .........} $

✓
$\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\log 2$
B
$\frac{\pi }{2} - 2\log 2$
C
$\pi - \frac{1}{2}\log 2$
D
$\pi 3$

✓

Answer

Correct option: A.

$\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\log 2$

‎$I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{1+\cos x+\sin x}dx ..........(1)$
$=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx$
$=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin x+\cos x}dx .............(2)$
સમી $(1)$ અને સમી $(2)$ નો સરવાળો કરતા $.........$
$2I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x+\cos x}{1+\sin x+\cos x}dx$
$=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{(1+\sin x+\cos x)-1}{1+\sin x+\cos x}dx$
$=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}1dx-\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin x+\cos x}dx$
$2I=\left[x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-I_1$
$2I=\frac{\pi}{2}-I_1 ...........(3)$
$I_1=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}$
અહી $\tan \frac{x}{2}=t$ લેતાં ,
$dx=\frac{2dt}{1+t^2},$
$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},$
$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{cases}x=0 & t =0\\x=\frac{\pi}{2} & t=1 \end{cases}$
$I_1=\int\limits_0^1 \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}$
$=\int\limits_0^1 \frac{2dt}{2(1+t)}$
$\Rightarrow \int\limits_0^1 \frac{dt}{1+t}$
$2I=\left[\log (1+t)\right]_0^1$
$2I=\frac{\pi}{2}-\log 2$
$I=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\log 2$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from સંકલનનો ઉપયોગ→સંકલનનો ઉપયોગ — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

વિકલ સમીકરણ $\sqrt {\frac{{dy}}{{dx}}} - 4\frac{{dy}}{{dx}} - 7x = 0$ ના કક્ષા અને પરિમાણ મેળવો.

$\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x} \sin \left(x-\frac{1}{x}\right)dx=\ ........$

પરવલય $y = x^2 + 2$ અને રેખાઓ $y = x + 1, x = 0$ અને $x = 3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો .

નળાકારની ઉંચાઈ થતા ત્રિજ્યા સમાન છે.ઉંચાઈ માપવામાં $2\ \%$ ત્રુટી પ્રવેશે છે. ઘનફળના માપમાં આશરે $.......$ ત્રુટી પ્રવેશે.

એક ચોરસ આધારવાળી અને છત ખુલ્લી હોય તેવી એક પેટી છે જો આ પેટી બનાવવામા વપરાયેલ પુઠ્ઠાનુ ક્ષેત્રફળ $48\,\,$ ચો.મીટર હોય તો પેટીનુ મહત્તમ ઘનફળ ........... $m^3$ થાય.

જો $y = 1 + x + {{{x^2}} \over {2!}} + {{{x^3}} \over {3!}} + .....\infty ,$ તો ${{dy} \over {dx}} = $

$\int_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}x\,dx = } $

બે સદિશો $\vec a$ અને $\vec b$ ની લંબાઇ $\sqrt 2 $ હોય અને $\left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt 5 $ છે જો $\vec c = \vec a + 2\vec b + 2\left( {\vec a \times \vec b} \right)$ હોય તો $\left| {\vec c} \right|$ ની કિમત મેળવો.

જો સદિશો $\left( {1 - x} \right)\hat i\, + \,\hat j\, + \,\hat k,\hat i\, + \,\left( {1 - y} \right)\,j\, + \,\hat k$ અને $\hat i + \hat j + \left( {1 - z} \right)\hat k$ એ સમતલીય સદિશો હોય તો $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ ની કિમત મેળવો. ($x, y, z$ એ શુન્યેતર સંખ્યાઓ છે)

જો $A = \left[ {\begin{array}{{}{c}}3&{ - 2}&3\\2&1&{ - 1}\\4&{ - 3}&2\end{array}} \right]$ તો $adj A=.......... .$