MCQ
જો ${\cos ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}y + {\cos ^{ - 1}}z = \pi $, તો
- A${x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz = 0$
- B${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xyz = 0$
- C${x^2} + {y^2} + {z^2} + xyz = 1$
- ✓${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xyz = 1$
$ \Rightarrow \,\,{\cos ^{ - 1}}(x) + {\cos ^{ - 1}}(y) + {\cos ^{ - 1}}(z) = {\cos ^{ - 1}}( - 1)$
$ \Rightarrow \,\,{\cos ^{ - 1}}(x) + {\cos ^{ - 1}}(y) = {\cos ^{ - 1}}( - 1) - {\cos ^{ - 1}}(z)$
$ \Rightarrow \,\,{\cos ^{ - 1}}(xy - \sqrt {1 - {x^2}} \sqrt {1 - {y^2})} = {\cos ^{ - 1}}\,\left\{ {( - 1)\,\,(z)} \right\}$
$ \Rightarrow \,\,xy - \sqrt {(1 - {x^2})\,\,(1 - {y^2})} = - z$
$ \Rightarrow \,\,(xy + z) = \sqrt {(1 - {x^2})\,\,(1 - {y^2})} $
Squaring both sides we get ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xyz = 1$.
Trick : Put $x = y = z = \frac{1}{2},$ so that
${\cos ^{ - 1}}\frac{1}{2} + {\cos ^{ - 1}}\frac{1}{2} + {\cos ^{ - 1}}\frac{1}{2} = \pi $
Obviously $ (d)$ holds for these values of $ x, y, z.$
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
|
|
સ્તંભ $-I$ |
|
સ્તંભ$-II$ |
|
$(A)$ |
જો $(a, b)$ નતિપરિવર્તન બિંદુ હોય તો $a -b$ બરાબર |
$(P)$ |
$3$ |
|
$(B)$ |
જો$e^t$ ન્યૂનત્તમ બિંદુહોય તો $12t$ બરાબર |
$(Q)$ |
$1$ |
|
$(C)$ |
જો આલેખ $(d,e)$ માં અંતગોળ અધઃમુખ હોય તો $d+3e$ બરાબર
|
$(R)$ |
$4$ |
|
$(D)$ |
જો આલેખ $(p, \infty)$ માં અંતગોળ ઉર્ધ્વઃમુખ હોય તો $p$ બરાબર |
$(S)$ |
$8$ |