જો f(x) = sgn ( x^3 ), તો - Vidyadip

MCQ

જો $f(x) = {\mathop{\rm sgn}} ({x^3})$, તો

A
$f$ એ $x = 0$ માટે સતત છે પરંતુ વિકલનીય નથી
B
$f'({0^ + }) = 2$
C
$f'({0^ - }) = 1$
✓
$f$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી

✓

Answer

Correct option: D.

$f$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી

Here, $f(x) = {\mathop{\rm sgn}} {x^3} = \left\{ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^3}}}{{|{x^3}|}},}&{{\rm{for}}}&{{x^3} \ne 0}\\{0{\rm{ }},}&{{\rm{for}}}&{{x^3} = 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{{|x|}},}&{{\rm{for}}}&{x \ne 0}\\{0{\rm{ ,}}}&{{\rm{for}}}&{x = 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1,}&{x < 0}\\{0,}&{x = 0}\\{1,}&{x > 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.$
Thus, $f(x) = {\mathop{\rm sgn}} {x^3} = {\mathop{\rm sgn}} x,$
which is neither continuous nor derivable at $0$. Note that
$f'({0^ + }) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{h \to {0^ + }} \,\frac{{f(0 + h) - f(0)}}{h}$
$ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{h \to {0^ + }} \,\frac{{1 - 0}}{h} \to \infty $
and $f'({0^ - }) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{h \to {0^ - }} \,\frac{{f(0 - h) - f(0)}}{h}$
$ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{h \to {0^ - }} \,\frac{{ - 1 - 0}}{h} \to \infty $.
$\therefore$ $f'({0^ + }) \ne f'({0^ - })$,
$\therefore$ $f$ is not derivable at $x = 0$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 5. continuity and differentiation→5. continuity and differentiation — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

વિધેય $f(x) = 2{x^3} - 15{x^2} + 36x + 1$ એ. . . .અંતરાલમાં ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે .

સદિશ $\overrightarrow a = \alpha \hat i + 2\hat j + \beta \hat k$ એ સદિશો $\overrightarrow b = \hat i + \hat j$ અને $\overrightarrow c = \hat j + \hat k$ ના સમતલ માં છે. અને $\overrightarrow b\ $એ$\ \overrightarrow c $નો કોણ દ્વિભાજક છે. તો નીચેનામાંથી $\alpha$અને$\beta$ ની શકય કિંમતો $?$

જો [$\sum\limits_{i=1}^{2n}{{{\sin }^{-1}}{{x}_{i}}=n\pi ,}$ હોય તો $\sum\limits_{i=1}^{2n}{{{x}_{i}}=................}$

જો $f:\,\left( { - \infty ,\infty } \right) \to \left( { - \infty ,\infty } \right)$ ; $f(x) = x^3 + 1$ આપેલ છે.

વિધાન $1$ : વિધેય $f$ એ $x = 0$ આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ કિમંત છે .

વિધાન $2$ : વિધેય $f$ એ $\left( { - \infty ,\infty } \right)$ પર સતત અને વિકલનીય છે અને $f'(0) = 0$ થાય.

જો $f\left( x \right) = p\left| {\sin x} \right| + q{e^{|x|}} + r|x{|^3}$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય હોય, તો $.......\left( { - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)$

વિધેય $f(x) = x - [\,x]$ (કે જ્યાં $[ \,]$ એ મહતમ પૂર્ણાક છે ) તો વિધેય એ . . . .

જો $f(x) = ax + b$ અને $g(x) = cx + d$, તો $f(g(x)) = g(f(x)) $ એ . . . . ને સમતુલ્ય થાય.

જો $a,b,c,$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય તથા$\theta=tan^{-1}\sqrt{\frac{a(a+b+c)}{bc}}+tan^{-1}\sqrt{\frac{b(a+b+c)}{ac}}+tan^{-1}\sqrt{\frac{c(a+b+c)}{ab}}$તો$tan \theta= ............. $

$e ^{ x }+ e ^{ y }= e ^{ x + y }$ તો $\frac{ dy }{ dx }=\ldots \ldots \ldots$.

ધારો કે બધા $x $ માટે $ f $ વિકલનીય છે. જો $x \in [1, 6]$ માટે $f (1) = -2$ અને $ f'(x) \geq 2$ હોય, તો......