MCQ
જો $u = \int_{}^{} {{e^{ax}}\cos bx\;dx} $ અને $v = \int_{}^{} {{e^{ax}}\sin bx\;dx} $, તો $({a^2} + {b^2})({u^2} + {v^2}) = $
- A$2{e^{ax}}$
- B$({a^2} + {b^2}){e^{2ax}}$
- ✓${e^{2ax}}$
- D$({a^2} - {b^2}){e^{2ax}}$
✓
Answer
Correct option: C.
${e^{2ax}}$
(c)$u = \int_{}^{} {{e^{ax}}\cos bx\,dx} $$ = {e^{ax}}\frac{{\sin bx}}{b} - \frac{a}{b}\int_{}^{} {{e^{ax}}.\sin bx\,dx} $
$ = \frac{{{e^{ax}}\sin bx}}{b} - \frac{a}{b}v$ $ \Rightarrow bu + av = {e^{ax}}\sin bx$..$(i)$
Similarly $bv - au = - {e^{ax}}\cos bx$..$(ii)$
Squaring $(i)$ and $(ii)$ and adding, we get
$({a^2} + {b^2})({u^2} + {v^2}) = {e^{2ax}}$.
$ = \frac{{{e^{ax}}\sin bx}}{b} - \frac{a}{b}v$ $ \Rightarrow bu + av = {e^{ax}}\sin bx$..$(i)$
Similarly $bv - au = - {e^{ax}}\cos bx$..$(ii)$
Squaring $(i)$ and $(ii)$ and adding, we get
$({a^2} + {b^2})({u^2} + {v^2}) = {e^{2ax}}$.
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.
Explore more
Similar questions
એક લંબચોરસ $ABCD$ એ વક્ર $y = \sin x, \ $અને $x-$ અક્ષ જ્યા $x \in [0,\pi ]$ વચ્ચે આવેલ છે ( આક્રૂતિમા દર્શાવ્યા મુજબ) તો $'\alpha '$ ની કઇ કિમત માટે લંબચોરસનુ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય.
→$\lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{\int \limits_{0}^{(x-1)^{2}} \operatorname{tcos}\left(t^{2}\right) d t}{(x-1) \sin (x-1)}\right)$ ની કિમત શોધો
→બિંદુ ${\text{(2, 4, 1) }}$ થી રેખા $\bar r\,\, = \,\,( - 5,\, - 3,\,6)\, + \,k\,(1,\,4,\, - 9),\,k\, \in \,R\,\,$ પર લંબના લંબ પાદના યામ મેળવો
→$F[f\{ \phi (x)\} ]$ નું વિકલન મેળવો.
→વિધેય $f(x) = {\left( {\left\{ x \right\} - \frac{1}{2}} \right)^2}$ એ ............ વિધેય છે. ( જ્યા $\{.\}$ એ અપુર્ણાક ભાગ વિધેય છે.)
→$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}$
→$\Delta \text{ABC}\ $ માટે $\ \overrightarrow {AB} = 3\hat i + 4\hat k\ $ અને $\ \overrightarrow {AC} = 5\hat i - 2\hat j + 4\hat k$ હોય,તો $\ A\ $ થી $\ \overline {BC}\ $ પરથી મધ્યગાની લંબાઈ $..........$ છે.
→જો $\vec u \, = \,\,\vec a \,\, - \,\,\vec b \,$ અને $\vec v \, = \,\,\vec a \, + \,\,\vec b $ અને $\,|\vec a |\,\, = \,|\vec b |\,\, = \,\,2\,$ તો $|\vec u \, \times \,\,\vec v |\,\, = \,\,......$
→જો શ્રેણિક $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \theta }&{\cos ec\theta }&1\\
{\cos ec\theta }&1&{\sin \theta }\\
1&{\sin \theta }&{\cos ec\theta }
\end{array}} \right]$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક હોય તો $'\theta'$ ની શક્ય કિમંત મેળવો. $($ કે જ્યાં $n \in I)$
→{\sin \theta }&{\cos ec\theta }&1\\
{\cos ec\theta }&1&{\sin \theta }\\
1&{\sin \theta }&{\cos ec\theta }
\end{array}} \right]$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક હોય તો $'\theta'$ ની શક્ય કિમંત મેળવો. $($ કે જ્યાં $n \in I)$
વક્રો $y = {(x + 1)^2},\,y = {(x - 1)^2}$ અને રેખા $y = \frac{1}{4}$ વચ્ચે ઘેરાએલા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મેળવો.
→