केंद्र $O$ वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु $T$ से दो स्पर्श रेखाएँ $TP$ तथा $TQ$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle \text{PTQ} = 2 \angle \text{OPQ}$ है।
example-2
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हमें केंद्र $O$ वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु $T$ तथा वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $TP$ और $TQ$, जहाँ $P, Q$ स्पर्श बिंदु हैं, दिए हैं $($देखिए आकृति$)$। हमें सिद्ध करना है कि
$\angle \text{PTQ} = 2\angle \text{OPQ}$
माना $\angle \text{PTQ} = \theta$
अब प्रमेय: वाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती है।
$TP = TQ$। अतः $\text{TPQ}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए $\angle \text{TPQ} = \angle \text{TQP} = \frac{1}{2}(180^\circ- \theta) = 90^\circ- \frac{1}{2} \theta$
प्रमेय: वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
$\angle \text{OPT} = 90^\circ$ है।
अत: $\angle \text{OPQ} = \angle \text{OPT} - \angle \text{TPQ} = 90^\circ- (90^\circ- \frac{1}{2} \theta) = \frac{1}{2} \theta=\frac{1}{2} \angle \text{PTQ}$
इससे $\angle \text{PTQ} = 2 \angle \text{OPQ}$ प्राप्त होता है।
$\angle \text{PTQ} = 2\angle \text{OPQ}$
माना $\angle \text{PTQ} = \theta$
अब प्रमेय: वाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती है।
$TP = TQ$। अतः $\text{TPQ}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए $\angle \text{TPQ} = \angle \text{TQP} = \frac{1}{2}(180^\circ- \theta) = 90^\circ- \frac{1}{2} \theta$
प्रमेय: वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
$\angle \text{OPT} = 90^\circ$ है।
अत: $\angle \text{OPQ} = \angle \text{OPT} - \angle \text{TPQ} = 90^\circ- (90^\circ- \frac{1}{2} \theta) = \frac{1}{2} \theta=\frac{1}{2} \angle \text{PTQ}$
इससे $\angle \text{PTQ} = 2 \angle \text{OPQ}$ प्राप्त होता है।
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