$\left|\begin{array}{ccc} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{array}\right| $ का मान ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-3
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माना दी गयी सारणिक $= A = \left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha\end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$A = \cos \alpha \cos \beta (\cos \alpha \cos \beta - 0) - \cos \alpha \sin \beta(- \cos \alpha \sin \beta - 0) - \sin \alpha(- \sin^2 \beta \sin \alpha - \cos^2 \beta \sin \alpha)$
$= \cos^2\alpha \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta)$
$= \cos^2\alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + \sin^2 \alpha (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta)$
$= \cos^2 \alpha (1) + \sin ^2\alpha(1)$
$= \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 (\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1)$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
$A = \cos \alpha \cos \beta (\cos \alpha \cos \beta - 0) - \cos \alpha \sin \beta(- \cos \alpha \sin \beta - 0) - \sin \alpha(- \sin^2 \beta \sin \alpha - \cos^2 \beta \sin \alpha)$
$= \cos^2\alpha \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta)$
$= \cos^2\alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + \sin^2 \alpha (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta)$
$= \cos^2 \alpha (1) + \sin ^2\alpha(1)$
$= \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 (\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1)$
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