परवलय $y = x^2$ एवं $y = |x|$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-8.1-9
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दिया गया परवलय $y = x^2, y-$अक्ष के परित: सममित है तथा बिंदु $(0, 0)$ व वक्र $y = |x|$ से गुजरता है।
$x = -x$ रखने पर$, y = |-x| = |x|$ प्राप्त होता है।
$\therefore$ वक्र $y = |x|, y-$अक्ष के परितः सममित है तथा मूलबिंदु से गुजरता है।
वक्र $y = x^2$ तथा रेखा $y = |x|$ या $y = \pm x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल आकृति में दर्शाया गया है।
परवलय $x^{2 }= y$ तथा रेखा $y = x$ का प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदक बिंदु $A(1, 1)$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $Y-$अक्ष के परितः सममित है।
$\therefore$ क्षेत्रफल $\text{OACO}\ =$ क्षेत्रफल $\text{ODBO}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 \times\ ($केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल$)$
$=2 \int_{0}^{1}\left(y_{2}-y_{1}\right) d x =2 \int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right) d x\ (\because$ वक्र $y = |x|, [0, 1]$ में वक्र $y = x^2$ के ऊपर स्थित है, अतः $y_{2 }= x$ तथा $y_{1 }= x^2$ लेने पर$)$
$=2\left[\int_{0}^{1} x d x-\int_{0}^{1} x^{2} d x\right] =2\left(\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}\right)$
$=2\left\{\left(\frac{1}{2}-0\right)-\left(\frac{1}{3}-0\right)\right\}=\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।
$x = -x$ रखने पर$, y = |-x| = |x|$ प्राप्त होता है।
$\therefore$ वक्र $y = |x|, y-$अक्ष के परितः सममित है तथा मूलबिंदु से गुजरता है।
वक्र $y = x^2$ तथा रेखा $y = |x|$ या $y = \pm x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल आकृति में दर्शाया गया है।
परवलय $x^{2 }= y$ तथा रेखा $y = x$ का प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदक बिंदु $A(1, 1)$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $Y-$अक्ष के परितः सममित है।
$\therefore$ क्षेत्रफल $\text{OACO}\ =$ क्षेत्रफल $\text{ODBO}$
$\therefore$ अभीष्ट क्षेत्रफल $= 2 \times\ ($केवल प्रथम चतुर्थांश में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल$)$
$=2 \int_{0}^{1}\left(y_{2}-y_{1}\right) d x =2 \int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right) d x\ (\because$ वक्र $y = |x|, [0, 1]$ में वक्र $y = x^2$ के ऊपर स्थित है, अतः $y_{2 }= x$ तथा $y_{1 }= x^2$ लेने पर$)$
$=2\left[\int_{0}^{1} x d x-\int_{0}^{1} x^{2} d x\right] =2\left(\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}\right)$
$=2\left\{\left(\frac{1}{2}-0\right)-\left(\frac{1}{3}-0\right)\right\}=\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।
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