परिमेय फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\cos x}{(1-\sin x)(2-\sin x)}$
Exercise-7.5-17
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माना $I=\int \frac{\cos x}{(1-\sin x)(2-\sin x)} d x$
sin x = t रखने पर, $\cos x=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{\cos x}$
$\therefore$ $I=\int \frac{\cos x}{(1-t)(2-t)} \frac{d t}{\cos x}$ $=\int \frac{1}{(1-t)(2-t)} d t$ $=\int\left(\frac{A}{1-t}+\frac{B}{2-t}\right) d t$ ...(i)
$\therefore$ $\frac{1}{(1-t)(2-t)}$ $=\frac{A(2-t)+B(1-t)}{(1-t)(2-t)}$
$\Rightarrow$ 1 = 2A - tA + B - Bt $\Rightarrow$ 1 = 1(2A + B) + t (-A - B)
दोनों पक्षों में t तथा अचर राशि के गुणांकों की तुलना करने पर,
2A + B = 1 और - A - B = 0
उपरोक्त समीकरण को जोड़ने पर,
A = 1 और B = 1
$\therefore$ $I=\int\left(\frac{1}{1-t}-\frac{1}{2-t}\right) d t$ [समी (i) से]
$=\int \frac{1}{(1-t)} d t-\int \frac{1}{(2-t)} d t$ $=\frac{\log |1-t|}{(-1)}-\frac{\log |2-t|}{(-1)}$ + C
$=\log \left|\frac{2-t}{1-t}\right|+C$ $=\log \left|\frac{2-\sin x}{1-\sin x}\right|+C$ (t = sin x रखने पर)
sin x = t रखने पर, $\cos x=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{\cos x}$
$\therefore$ $I=\int \frac{\cos x}{(1-t)(2-t)} \frac{d t}{\cos x}$ $=\int \frac{1}{(1-t)(2-t)} d t$ $=\int\left(\frac{A}{1-t}+\frac{B}{2-t}\right) d t$ ...(i)
$\therefore$ $\frac{1}{(1-t)(2-t)}$ $=\frac{A(2-t)+B(1-t)}{(1-t)(2-t)}$
$\Rightarrow$ 1 = 2A - tA + B - Bt $\Rightarrow$ 1 = 1(2A + B) + t (-A - B)
दोनों पक्षों में t तथा अचर राशि के गुणांकों की तुलना करने पर,
2A + B = 1 और - A - B = 0
उपरोक्त समीकरण को जोड़ने पर,
A = 1 और B = 1
$\therefore$ $I=\int\left(\frac{1}{1-t}-\frac{1}{2-t}\right) d t$ [समी (i) से]
$=\int \frac{1}{(1-t)} d t-\int \frac{1}{(2-t)} d t$ $=\frac{\log |1-t|}{(-1)}-\frac{\log |2-t|}{(-1)}$ + C
$=\log \left|\frac{2-t}{1-t}\right|+C$ $=\log \left|\frac{2-\sin x}{1-\sin x}\right|+C$ (t = sin x रखने पर)
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