फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $x(\log x)^2$
Exercise-7.6-14
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माना $I = \in tx(\log x)^2 dx$
$(\log x)^2$ को पहला तथा $x$ को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर,
$I = (\log x)^{2} \int x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\log x)^{2} \int x d x\right] d x$
$=(\log x)^{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int\left(\frac{2 \log x}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}\right) d x$
$=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\int x \log x d x$
पुनः खण्डशः समाकलन करने पर,
$I=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}$
$-\left[\log x \int x d x-\int\left\{\left(\frac{d}{d x} \log x\right) \int x d x\right\} d x\right] + C$
$=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}$
$-\left(\frac{x^{2}}{2} \log x-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} d x\right) + C$
$=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\frac{x^{2}}{2} \log x$
$+\frac{1}{2} \int x d x+C$
$=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\frac{x^{2}}{2} \log x+\frac{x^{2}}{4} + C$
$(\log x)^2$ को पहला तथा $x$ को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर,
$I = (\log x)^{2} \int x d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\log x)^{2} \int x d x\right] d x$
$=(\log x)^{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int\left(\frac{2 \log x}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}\right) d x$
$=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\int x \log x d x$
पुनः खण्डशः समाकलन करने पर,
$I=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}$
$-\left[\log x \int x d x-\int\left\{\left(\frac{d}{d x} \log x\right) \int x d x\right\} d x\right] + C$
$=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}$
$-\left(\frac{x^{2}}{2} \log x-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2} d x\right) + C$
$=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\frac{x^{2}}{2} \log x$
$+\frac{1}{2} \int x d x+C$
$=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\frac{x^{2}}{2} \log x+\frac{x^{2}}{4} + C$
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