सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{array}\right| = 4abc$
EXAMPLE-14
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मान लीजिए
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{array}\right|$
सारणिक पर $R_{1 } \rightarrow R_{1 }- R_{2 }- R_3$ का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & -2 c & -2 b \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{array}\right|$
$R_{1 }$ के अनुदिश प्रसरण करने पर हम पाते हैं कि
$\Delta = 0\left|\begin{array}{cc} c+a & b \\ c & a+b \end{array}\right| - (-2c) \left|\begin{array}{cc} b & b \\ c & a+b \end{array}\right| + (- 2b) \left|\begin{array}{cc} b & c+a \\ c & c \end{array}\right| $
$= 2c (ab + b^{2 }- bc) - 2b (bc - c^{2 }- ac)$
$= 2abc + 2cb^{2 }- 2bc^{2 }- 2b^2 c + 2bc^{2 }+ 2abc$
$= 4abc$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{array}\right|$
सारणिक पर $R_{1 } \rightarrow R_{1 }- R_{2 }- R_3$ का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 0 & -2 c & -2 b \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{array}\right|$
$R_{1 }$ के अनुदिश प्रसरण करने पर हम पाते हैं कि
$\Delta = 0\left|\begin{array}{cc} c+a & b \\ c & a+b \end{array}\right| - (-2c) \left|\begin{array}{cc} b & b \\ c & a+b \end{array}\right| + (- 2b) \left|\begin{array}{cc} b & c+a \\ c & c \end{array}\right| $
$= 2c (ab + b^{2 }- bc) - 2b (bc - c^{2 }- ac)$
$= 2abc + 2cb^{2 }- 2bc^{2 }- 2b^2 c + 2bc^{2 }+ 2abc$
$= 4abc$
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