$4 \ kg$ प्याज, $3 \ kg$ गेहूँ और $2 \ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 60$ है। $2 \ kg$ प्याज, $4 \ kg$ गेहूँ और $6\ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 90$ है। $6\ kg$ प्याज, $2 \ kg$ और $3 \ kg$ चावल का मूल्य $₹\ 70$ है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति $\ kg$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-4.5-16
Download our app for free and get started
माना प्याज गेहूँ तथा चावल का मूल्य क्रमश: $₹\ x, ₹\ y$ तथा $₹\ z$ है, तब
$4x + 3y + 2z = 60, 2x + 4y + 6z = 90, 6x + 2y + 3z = 70$
इस समीकरण निकाय को निम्न रूप में लिख सकते हैं $AX = B$, जहाँ
$A = \left[\begin{array}{lll}4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3\end{array}\right]$, $X = \left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ तथा $B = \left[\begin{array}{l}60 \\ 90 \\ 70\end{array}\right]$
यहाँ, $|A| = \left|\begin{array}{lll} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{array}\right| = 4(12 - 12) - 3(6 - 36) + 2(4 - 24)
= 0 + 90 - 40 = 50 \neq 0$
$\therefore A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
$\Rightarrow A^{-1}$ विद्यमान है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है जिसका अद्वितीय हल निम्न है
$X = A^{-1} B$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11}= 12 - 12 = 0, A_{12 }= - (6 - 36) = 30, A_{13 }= 4 - 24 = - 20,$
$A_{21 }= - (9 - 4) = - 5, A_{22 }= 12 - 12 = 0, A_{23 }= - (8 - 18) = 10,$
$A_{31 }= (18 - 8) = 10, A_{32} = - (24 - 4) = - 20, A_{33 }= 16 - 6 = 10$
$adj (A) = \left[\begin{array}{rrr} 0 & 30 & -20 \\ -5 & 0 & 10 \\ 10 & -20 & 10 \end{array}\right]^{T}$= $ \left[\begin{array}{rrr} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{array}\right] $
$\therefore A^{-1} = \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{50} \left[\begin{array}{rrr} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{array}\right] $
अब, $X = A-1 B \Rightarrow$$\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]$= $\frac{1}{50}$$\left[\begin{array}{rrr} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{l} 60 \\ 90 \\ 70 \end{array}\right]$= $\frac{1}{50}$$\left[\begin{array}{c} 1800+0-1400 \\ -1200+900+700 \end{array}\right] $
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]$= $\frac{1}{50}$ $\left[\begin{array}{l} 250 \\ 400 \\ 400 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{l} 5 \\ 8 \\ 8 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{l} 5 \\ 8 \\ 8 \end{array}\right]$
$\therefore x = 5, y = 8$ तथा $z = 8 $
अतः $1$ किग्रा प्याज का मूल $₹\ 5,1$ किग्रा गेहूँ का मूल्य $₹8$ तथा $1$ किग्रा चावल का मूल्य $₹\ 8$ है।
$4x + 3y + 2z = 60, 2x + 4y + 6z = 90, 6x + 2y + 3z = 70$
इस समीकरण निकाय को निम्न रूप में लिख सकते हैं $AX = B$, जहाँ
$A = \left[\begin{array}{lll}4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3\end{array}\right]$, $X = \left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ तथा $B = \left[\begin{array}{l}60 \\ 90 \\ 70\end{array}\right]$
यहाँ, $|A| = \left|\begin{array}{lll} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{array}\right| = 4(12 - 12) - 3(6 - 36) + 2(4 - 24)
= 0 + 90 - 40 = 50 \neq 0$
$\therefore A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
$\Rightarrow A^{-1}$ विद्यमान है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है जिसका अद्वितीय हल निम्न है
$X = A^{-1} B$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11}= 12 - 12 = 0, A_{12 }= - (6 - 36) = 30, A_{13 }= 4 - 24 = - 20,$
$A_{21 }= - (9 - 4) = - 5, A_{22 }= 12 - 12 = 0, A_{23 }= - (8 - 18) = 10,$
$A_{31 }= (18 - 8) = 10, A_{32} = - (24 - 4) = - 20, A_{33 }= 16 - 6 = 10$
$adj (A) = \left[\begin{array}{rrr} 0 & 30 & -20 \\ -5 & 0 & 10 \\ 10 & -20 & 10 \end{array}\right]^{T}$= $ \left[\begin{array}{rrr} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{array}\right] $
$\therefore A^{-1} = \frac{1}{|A|} (adj A) = \frac{1}{50} \left[\begin{array}{rrr} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{array}\right] $
अब, $X = A-1 B \Rightarrow$$\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]$= $\frac{1}{50}$$\left[\begin{array}{rrr} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{l} 60 \\ 90 \\ 70 \end{array}\right]$= $\frac{1}{50}$$\left[\begin{array}{c} 1800+0-1400 \\ -1200+900+700 \end{array}\right] $
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]$= $\frac{1}{50}$ $\left[\begin{array}{l} 250 \\ 400 \\ 400 \end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{l} 5 \\ 8 \\ 8 \end{array}\right]$
$\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]$= $ \left[\begin{array}{l} 5 \\ 8 \\ 8 \end{array}\right]$
$\therefore x = 5, y = 8$ तथा $z = 8 $
अतः $1$ किग्रा प्याज का मूल $₹\ 5,1$ किग्रा गेहूँ का मूल्य $₹8$ तथा $1$ किग्रा चावल का मूल्य $₹\ 8$ है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिएView Solution
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y}+ \frac{10}{z} = 4$
$\frac{4}{x} - \frac{6}{y}+ \frac{5}{z} = 1$
$\frac{6}{x} + \frac{9}{y} - \frac{20}{z} = 2$ - 2आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{array}\right]$View Solution
- 3आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{array}\right]$View Solution
- 4यदि $A^{-1 }= \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right]$ और $B = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{array}\right] ,$ हो तो $AB)^{-1 }$ का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5आव्यूह के व्युत्क्रम $($जिनका अस्तित्व हो$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right]$View Solution
- 6समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।View Solution
$x - y + z = 4$
$2x + y - 3z = 0$
$x + y + z = 2$ - 7यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हो और सारणिकView Solution
$ \Delta$ = $ \left|\begin{array}{lll} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{array}\right|= 0$ हो तो दर्शाइए कि या तो $a + b + c = 0$ या $a = b = c$ है। - 8यदि $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$, तो सत्यापित कीजिए कि $\ce{A^{3 }- 6A^{2 }+ 9A - 4I = O}$ है तथा इसकी सहायता से $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।View Solution
$x - y + 2z = 7$
$3x + 4y - 5z = - 5$
$2x - y + 3z = 12$ - 10दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए:View Solution
$x + y + z = 1$
$2x + 3y + 2z = 2$
$ax + ay + 2az = 4$