सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वह कोण जिसके लिए व्यंजक को न्यून कोण परिभाषित किया गया है:
$\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$ = 1 + sec $\theta$ cosec $\theta$
$\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$ = 1 + sec $\theta$ cosec $\theta$
Exercise-8.3-4(3)
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$\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$ = 1 + sec$\theta$$\cdot$cosec$\theta$
L.H.S. = $\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$
= $\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
= $\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}}$
= $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\sin \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$+$\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta}{\cos \theta-\sin \theta}$
= $\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)}+\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(\cos \theta-\sin \theta)}$
= $\frac{\sin ^{3} \theta-\cos ^{3} \theta}{\sin \theta \cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)}$
= $\frac{(\sin \theta-\cos \theta)\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta\right)}{(\sin \theta \cos \theta)(\sin \theta-\cos \theta)}$
= $\frac{1+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
= $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}+\frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
= $\frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta}+1$
= cosec $\theta$$\cdot$sec $\theta$ + 1 = R.H.S.
अत: L.H.S. = R.H.S.
L.H.S. = $\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$
= $\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
= $\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}}$
= $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\sin \theta}{\sin \theta-\cos \theta}$+$\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta}{\cos \theta-\sin \theta}$
= $\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)}+\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(\cos \theta-\sin \theta)}$
= $\frac{\sin ^{3} \theta-\cos ^{3} \theta}{\sin \theta \cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)}$
= $\frac{(\sin \theta-\cos \theta)\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta\right)}{(\sin \theta \cos \theta)(\sin \theta-\cos \theta)}$
= $\frac{1+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
= $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}+\frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
= $\frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta}+1$
= cosec $\theta$$\cdot$sec $\theta$ + 1 = R.H.S.
अत: L.H.S. = R.H.S.
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