सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन $y = e^x(a \cos x + b \sin x) \ ($स्पष्ट अथवा अस्पष्ट$)$ संगत अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0$ का हल है।
Miscellaneous Exercise-2
Download our app for free and get started
दिया है,$ y = e^x(a \cos x + b \sin x)$
$e^x$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$e^{-x}y = a \cos x + b \sin x ...(i)$
$x$ के सापेक्ष दोनों तरफ अवकलन करने पर,
$e^{-x} \frac{d y}{d x}-y e^{-x}= -a \sin x + b \cos x$
पुनः $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,
$e^{-x} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x} e^{-x}-\left(-y e^{-x}+e^{-x} \frac{d y}{d x}\right) = -a \cos x - b \sin x$
$\Rightarrow e^{-x} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x} e^{-x}+y e^{-x}-e^{-x} \frac{d y}{d x} = -(a \cos x + b \sin x)$
$\Rightarrow e^x\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 e^{-x} \frac{d y}{d x}+y e^{-x} = -ye^{-x} [$समी. $(i)$ से$]$
$\Rightarrow e^{-x} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 e^{-x} \frac{d y}{d x}+2 y e^{-x}=0$
$\Rightarrow e^{-x}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y\right)=0$
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0$
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
$e^x$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$e^{-x}y = a \cos x + b \sin x ...(i)$
$x$ के सापेक्ष दोनों तरफ अवकलन करने पर,
$e^{-x} \frac{d y}{d x}-y e^{-x}= -a \sin x + b \cos x$
पुनः $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,
$e^{-x} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x} e^{-x}-\left(-y e^{-x}+e^{-x} \frac{d y}{d x}\right) = -a \cos x - b \sin x$
$\Rightarrow e^{-x} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{d y}{d x} e^{-x}+y e^{-x}-e^{-x} \frac{d y}{d x} = -(a \cos x + b \sin x)$
$\Rightarrow e^x\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 e^{-x} \frac{d y}{d x}+y e^{-x} = -ye^{-x} [$समी. $(i)$ से$]$
$\Rightarrow e^{-x} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 e^{-x} \frac{d y}{d x}+2 y e^{-x}=0$
$\Rightarrow e^{-x}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y\right)=0$
$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0$
अतः दिया गया फलन, दिए गए अवकल समीकरण का हल है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1दिए गए अवकल समीकरण की कोटि एवं घात $($यदि परिभाषित हो$)$ ज्ञात कीजिए: $y′′′ + y^2 + e^{y'} = 0$View Solution
- 2View Solutionतीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
- 3अवकल समीकरण $2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0$ की कोटि है:View Solution
- 4दिए गए अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए: $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$View Solution
- 5अवकल समीकरण $(1 - y^2)\frac{d y}{d x} + yx = ay(-1 < y < 1)$ का समाकलन गुणक हैView Solution
- 6अवकल समीकरण $\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}-4\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+7 y$ = sin x की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} = e^{x + y}$ का व्यापक हल है:View Solution
- 8निम्नलिखित में से कौन$-$सा समघातीय अवकल समीकरण है?View Solution
- 9अवकल समीकरण $e^xdy + (ye^x + 2x)dx = 0$ का व्यापक हल है:View Solution
- 10निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल $y = c_1e^x + c_2e^{-x}$ है?View Solution