अवकल समीकरण $e^xdy + (ye^x + 2x)dx = 0$ का व्यापक हल है:
Miscellaneous Exercise-18
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दिया गया अवकल समीकरण
$e^xdy + (ye^x + 2x)dx = 0$
$e^x \frac{d y}{d x} + ye^x + 2x = 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} + y = -2xe^{-x}$
जो रैखिक अवकल समीकरण है।
$\frac{d y}{d x} + Py = Q$
तुलना करने पर $, P = 1$ तथा $Q = -2xe^{-x}$
$\therefore IF = e^{\int 1 d x} = e^x$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
$y \cdot IF = \int\left(-2 x e^{-x} \times e^{x}\right) d x+C$
$\Rightarrow y e^{x}=-\int 2 x d x+C$
$\Rightarrow ye^x = -x^2 + C \Rightarrow ye^x + x^2 = C$
$e^xdy + (ye^x + 2x)dx = 0$
$e^x \frac{d y}{d x} + ye^x + 2x = 0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} + y = -2xe^{-x}$
जो रैखिक अवकल समीकरण है।
$\frac{d y}{d x} + Py = Q$
तुलना करने पर $, P = 1$ तथा $Q = -2xe^{-x}$
$\therefore IF = e^{\int 1 d x} = e^x$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
$y \cdot IF = \int\left(-2 x e^{-x} \times e^{x}\right) d x+C$
$\Rightarrow y e^{x}=-\int 2 x d x+C$
$\Rightarrow ye^x = -x^2 + C \Rightarrow ye^x + x^2 = C$
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