$\mathrm{I}_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}+\mathrm{G}}$

where, $I $$_{g}$ - Galvanometer current, $G-$Galvonometer resistance

When shunt of resistance $S$ is connected parallel to the Galvanometer then

$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{GS}}{\mathrm{G}+\mathrm{S}}$

$\therefore I=\frac{V}{R+\frac{G S}{G+S}}$

Equal potential difference is given by

$\mathrm{I}_{\mathrm{g}}^{\prime} \mathrm{G}=\left(\mathrm{I}-\mathrm{I}_{\mathrm{B}}^{\prime}\right) \mathrm{S}$

$\mathrm{I}_{\mathrm{g}}^{\prime}(\mathrm{G}+\mathrm{S})=\mathrm{IS}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{I}_{\mathrm{g}}}{2}=\frac{\mathrm{IS}}{\mathrm{G}+\mathrm{S}}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{v}}{2(\mathrm{R}+\mathrm{G})}=\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{R}+\frac{\mathrm{GS}}{\mathrm{G}+\mathrm{S}}} \times \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{G}+\mathrm{S}}$

$ \Rightarrow \frac{1}{{2(R + G)}} = \frac{S}{{R(G + S) + GS}}$

$\Rightarrow R(G+S)+G S=2 S(R+G)$

$\Rightarrow \mathrm{RG}+\mathrm{RS}+\mathrm{GS}=2 \mathrm{S}(\mathrm{R}+\mathrm{G})$

$\Rightarrow \mathrm{RG}=2 \mathrm{S}(\mathrm{R}+\mathrm{G})-\mathrm{S}(\mathrm{R}+\mathrm{G})$

$\therefore \mathrm{RG}=\mathrm{S}(\mathrm{R}+\mathrm{G})$