સાતત્ય અને વિકલનીયતા — ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ — Question

$f(x)=\begin{cases}x^3-1;&1< x<\infty\\x-1;&-\infty< x\leq1\end{cases}$

$\lim_{x \rightarrow 1^+}x^3-1=\lim_{x \rightarrow 1^-}(x-1)=f(1)\\ 0 \ \ \ \ = \ \ \ 0 \ \ \ = \ \ \ \ \ 0$

$x=1$ આગળ $f$ એ સતત છે

વિક્લનીય

$RHD$

$\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{x^3-1-0}{x-1}\Rightarrow\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}$

$\lim_{x \rightarrow 1^+}(x^2+x+1)\Rightarrow3=f'(1)$

$LHD$

$\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{x-1-0}{x-1}\Rightarrow\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{x-1}{x-1}=0=f'(1)$

$f$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે