यदि $y=\sin \left[2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\right]$ है, तब $\frac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिये।
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माना $x=\cos \theta$ या $\theta=\cos ^{-1} x$
$\Rightarrow \quad y=\sin \left[2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right]$
$\Rightarrow \quad y=\sin \left[2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin ^2 \theta / 2}{2 \cos ^2 \theta / 2}}\right]$
$\Rightarrow \quad y=\sin \left[2 \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\right]$
$\Rightarrow \quad y=\sin \left[2 \cdot \frac{\theta}{2}\right]=\sin \theta$
$\Rightarrow \quad y=\sqrt{1-\cos ^2 \theta}=\sqrt{1-x^2}$
इसलिए $\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \sqrt{1-x^2}=\frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} \frac{d}{d x}\left(1-x^2\right)$
$\frac{d y}{d x}=\frac{-2 x}{2 \sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\Rightarrow \quad y=\sin \left[2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\right]$
$\Rightarrow \quad y=\sin \left[2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{2 \sin ^2 \theta / 2}{2 \cos ^2 \theta / 2}}\right]$
$\Rightarrow \quad y=\sin \left[2 \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)\right]$
$\Rightarrow \quad y=\sin \left[2 \cdot \frac{\theta}{2}\right]=\sin \theta$
$\Rightarrow \quad y=\sqrt{1-\cos ^2 \theta}=\sqrt{1-x^2}$
इसलिए $\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} \sqrt{1-x^2}=\frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} \frac{d}{d x}\left(1-x^2\right)$
$\frac{d y}{d x}=\frac{-2 x}{2 \sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$
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