यदि $y=x^x+x^a+a^x+a^a$ हो, तो $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात कीजिए।
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माना कि
$y=x^x+x^a+a^x+a^a$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^x\right)+a x^{a-1}+a^x \log _e a+0$
$\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^x\right)+a x^{a-1}+a^x \log _e a$...............(1)
माना कि $u=x^x$
$\therefore \quad \log u=\log _e x^x=x \log _e x$
$\therefore \quad \frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=1 \cdot \log _e x+x \cdot \frac{1}{x}=1+\log _e x$
$\frac{d}{d x}\left(x^x\right)=\frac{d u}{d x}=u\left(1+\log _e x\right)=x^x\left(1+\log _e x\right)$
समीकरण (1) में $\frac{d}{d x}\left(x^x\right)$ का मान रखने पर
$\frac{d y}{d x}=x^x\left(1+\log _e x\right)+a x^{a-1}+a^x \log _e a$
$y=x^x+x^a+a^x+a^a$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^x\right)+a x^{a-1}+a^x \log _e a+0$
$\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^x\right)+a x^{a-1}+a^x \log _e a$...............(1)
माना कि $u=x^x$
$\therefore \quad \log u=\log _e x^x=x \log _e x$
$\therefore \quad \frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=1 \cdot \log _e x+x \cdot \frac{1}{x}=1+\log _e x$
$\frac{d}{d x}\left(x^x\right)=\frac{d u}{d x}=u\left(1+\log _e x\right)=x^x\left(1+\log _e x\right)$
समीकरण (1) में $\frac{d}{d x}\left(x^x\right)$ का मान रखने पर
$\frac{d y}{d x}=x^x\left(1+\log _e x\right)+a x^{a-1}+a^x \log _e a$
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