Rajasthan Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितसमाकलन2 Marks
Question
फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)\left(2+e^{x}\right)}$
✓
Answer
माना $I=\int \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)\left(2+e^{x}\right)} d x$
$e^x = t$ रखने पर
$\Rightarrow e^xdx = dt $
$\therefore I=\int \frac{e^{x}}{(1+t)(2+t)} \frac{d t}{e^{x}} =\int \frac{1}{(1+t)(2+t)} d t$
माना $\frac{1}{(1+t)(2+t)} =\frac{A}{(1+t)}+\frac{B}{(2+t)}$
$\Rightarrow 1 = A(2 + t) + B(1 + t) $
$= (2A + B) + t(A + B)$
दोनों पक्षों में $t$ तथा अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$A + B = 0$ तथा $2A + B = 1$
दोनों समीकरणों को हल करने पर$, A = 1$ और $B = -1$
$\therefore I=\int \frac{1}{(1+t)} d t-\int \frac{1}{(2+t)} d t $
$= \log |1 + t| − \log |2 + t| + C$
$=\log \left|\frac{1+t}{2+t}\right|+C $
$=\log \left|\frac{1+e^{x}}{2+e^{x}}\right|+C$
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