आकृति में दर्शाए गए त्रिभुज $\text{AOB}$ के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ बिंदु के निर्देशांक हैं:
Exercise-7.1-15
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$AB = \sqrt{(2 x-0)^{2}+(0-2 y)^{2}}$
$= \sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}}=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ इकाइयाँ
$BO = \sqrt{(0-2 x)^{2}+(0-0)^{2}}$
$= \sqrt{4x^2} = 2x$ इकाइयाँ
$AO = \sqrt{(0-0)^{2}+(0-2 y)^{2}}$
$= \sqrt{4y^2} = 2y$ इकाइयाँ
अब, $AB^2 = AO^2 + BO^2$
$\Rightarrow \left(2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2} = (2x)^2 + (2y)^2$
$\Rightarrow 4(x^2 + y^2)$
अत: त्रिभुज $\text{AOB}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
चूँकि एक समकोण त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ बिंदु का निर्देशांक उसके कर्ण के मध्य$-$बिंदु के निर्देशांक होते हैं।
$\therefore AB$ का मध्य$-$बिंदु $= \left(\frac{0+2 x}{2}, \frac{2 y+0}{2}\right) = (x, y)$
$= \sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}}=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ इकाइयाँ
$BO = \sqrt{(0-2 x)^{2}+(0-0)^{2}}$
$= \sqrt{4x^2} = 2x$ इकाइयाँ
$AO = \sqrt{(0-0)^{2}+(0-2 y)^{2}}$
$= \sqrt{4y^2} = 2y$ इकाइयाँ
अब, $AB^2 = AO^2 + BO^2$
$\Rightarrow \left(2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{2} = (2x)^2 + (2y)^2$
$\Rightarrow 4(x^2 + y^2)$
अत: त्रिभुज $\text{AOB}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
चूँकि एक समकोण त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ बिंदु का निर्देशांक उसके कर्ण के मध्य$-$बिंदु के निर्देशांक होते हैं।
$\therefore AB$ का मध्य$-$बिंदु $= \left(\frac{0+2 x}{2}, \frac{2 y+0}{2}\right) = (x, y)$
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